Dans un repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), on considère les points :
A\left(-3;0\right), B\left(0;4\right), C\left(3;-2\right), D\left(0;-1\right), E\left(\dfrac{-3}{2};2\right) et F\left(\dfrac{3}{2};1\right)
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une équation cartésienne de la droite \left(AF\right) ?
Dans tout le problème, on se place dans un repère \left(0;\overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right).
Soit M\left(x;y\right)\in\left(AF\right), les vecteurs \overrightarrow{AM} et \overrightarrow{AF} sont donc colinéaires.
On a donc :
\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x+3 \cr\cr y \end{pmatrix} et \overrightarrow{AF}\begin{pmatrix} \cfrac{9}{2} \cr\cr 1 \end{pmatrix} qui sont colinéaires si et seulement si
\left(x+3\right)\times 1-\cfrac{9}{2}y=0 \Leftrightarrow x-\cfrac{9}{2}y+3=0 \Leftrightarrow 2x-9y+6=0
Une équation cartésienne de la droite \left(AF\right) est 2x-9y+6=0.
Parmi les propositions suivantes, laquelle correspond à une équation cartésienne de la droite \left(CE\right) ?
Soit M\left(x;y\right)\in\left(CE\right), les vecteurs \overrightarrow{CM} et \overrightarrow{CE} sont donc colinéaires.
On a donc :
\overrightarrow{CM}\begin{pmatrix} x-3 \cr\cr y+2 \end{pmatrix} et \overrightarrow{CE}\begin{pmatrix}- \cfrac{9}{2} \cr\cr 4 \end{pmatrix} qui sont colinéaires si et seulement si
\left(x-3\right)\times 4-\left(-\cfrac{9}{2}\right)\left(y+2\right)=0 \Leftrightarrow 4x-12+\cfrac{9}{2}y+9=0 \Leftrightarrow 4x+\cfrac{9}{2}y-3=0 \Leftrightarrow 8x+9y-6=0
Une équation cartésienne de la droite \left(CE\right) est 8x-9y+6=0.
Que représentent les droites \left(AF\right) et \left(CE\right) pour le triangle ABC ?
La droite \left(AF\right) représente une médiane du triangle ABC, car d'après le cours on sait qu'une médiane dans un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
En effet, le point A\in\left(AF\right) et est bien un sommet du triangle ABC et la droite \left(AF\right) coupe le segment \left[BC\right] en son milieu.
Il suffit alors de vérifier que le point F est bien le milieu du segment \left[BC\right].
Le milieu du segment \left[BC\right] a pour coordonnées :
\left(\cfrac{x_C+x_B}{2};\cfrac{y_C+y_B}{2}\right) soit \left(\cfrac{3}{2};1\right)
Ce qui correspond bien au point F donné dans l'énoncé.
- On utilise la même méthode que précédemment pour vérifier que la droite \left(CE\right) est une médiane du triangle ABC.
En effet, le point C\in\left(CF\right) et est bien un sommet du triangle ABC et la droite \left(CE\right) coupe le segment \left[AB\right] en son milieu.
Il suffit alors de vérifier que le point E est bien le milieu du segment \left[AB\right].
Le milieu du segment \left[AB\right] a pour coordonnées :
\left(\cfrac{x_B+x_A}{2};\cfrac{y_B+y_A}{2}\right) soit \left(\cfrac{-3}{2};2\right)
Ce qui correspond bien au point E donné dans l'énoncé.
Les droites \left(AF\right) et \left(CE\right) correspondent bien aux médianes du triangle ABC.