Dans un repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), on donne les points suivants :
A\left(-2{,}5\right), B\left(-2{,}3\right), C\left(-4;1\right) et D\left(3;0\right)
Pour tout réel m, on appelle \Delta_m la droite d'équation x+m^2y+1=0.
Quelles sont les éventuelles valeurs de m pour lesquelles le point A appartient à la droite \Delta_m ?
Dans tout le problème, on se place dans un repère \left(O;\overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right).
A\left(-2;5\right)\in\Delta_m\Leftrightarrow -2+5 m^2+1=0 \Leftrightarrow m^2=\cfrac{1}{5} \Leftrightarrow m=\sqrt{\cfrac{1}{5}} \text{ou } m=-\sqrt{\cfrac{1}{5}}
A\in\Delta_m \Leftrightarrow m=\left\{-\cfrac{\sqrt{5}}{5},\cfrac{\sqrt{5}}{5}\right\}
Quelles sont les éventuelles valeurs de m pour lesquelles la droite \Delta_m est parallèle à la droite (AB) ?
On cherche tout d'abord un vecteur directeur de la droite \left(AB\right).
Méthode 1 :
\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right), donc :
\overrightarrow{AB}\left(-2-\left(-2\right);3-5\right), donc :
\overrightarrow{AB}\left(0;-2\right)
Le vecteur qui a pour coordonnées \left(0;-2\right) est un vecteur directeur de la droite \left(AB\right).
Il existe donc un réel c tel que : -2x+c=0, soit une équation de la droite \left(AB\right).
Or, le point A appartient à la droite \left(AB\right), donc :
A\in\left(AB\right)\Leftrightarrow -2\times 2+c=0 \Leftrightarrow c=4
L'équation de la droite \left(AB\right) est donc du type :
x=-2
La droite \left(AB\right) est donc une droite verticale.
Méthode 2 :
On constate que les points A\left(-2;5\right) et B\left(-2;3\right) ont la même abscisse : x_A=x_B=-2
La droite \left(AB\right) est donc une droite verticale d'équation x=-2.
Il reste à déterminer les éventuelles valeurs de m, pour lesquelles la droite \left(AB\right) et la droite \Delta_m sont parallèles.
Or, d'après le cours, un vecteur directeur de la droite \Delta_m est le vecteur \overrightarrow{u}\left(-m^2;1\right).
Donc :
Les droites \left(AB\right) et \Delta_m sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB}\left(0;-2\right) et \overrightarrow{u}\left(-m^2;1\right) sont colinéaires.
Donc :
\left(\Delta_m\right)\,//\left(AB\right) \Leftrightarrow 0\times 1-\left(-m^2\right)\times\left(-2\right) =0 \Leftrightarrow -2 m^2=0 \Leftrightarrow m^2=0\Leftrightarrow m=0
La droite \Delta_m et la droite \left(AB\right) sont parallèles si et seulement si m=0.
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont-elles sécantes et, si oui, quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?
D'après la question précédente, on a déterminé un vecteur directeur de la droite \left(AB\right) qui a pour coordonnées \left(0;-2\right).
On cherche à présent un vecteur directeur de la droite \left(CD\right).
\overrightarrow{CD}\left(x_D-x_C;y_D-y_C\right), donc :
\overrightarrow{CD}\left(3-\left(-4\right);0-1\right), donc :
\overrightarrow{CD}\left(7;-1\right)
Le vecteur qui a pour coordonnées \left(7;-1\right) est un vecteur directeur de la droite \left(CD\right).
Il existe donc un réel c tel que -x-7y+c=0 , soit une équation cartésienne de la droite \left(CD\right).
Or, C\left(-4;1\right)\in\left(CD\right), donc :
C\in\left(CD\right)\Leftrightarrow -\left(-4\right)-7\times 1+c=0\Leftrightarrow -3+c=0 \Leftrightarrow c=3
Une équation cartésienne de la droite \left(CD\right) est donc :
-x-7y+3=0
On vérifie à présent que les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont sécantes.
On sait que :
- L'équation de la droite verticale \left(AB\right) est x=-2.
- Une équation cartésienne de la droite \left(CD\right) est -x-7y+3=0.
On remplace x par -2 dans l'équation cartésienne de la droite \left(CD\right) et on obtient :
2-7y+3=0 \Leftrightarrow -7y+5 =0\Leftrightarrow y=\cfrac{5}{7}
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont bien sécantes et leur point d'intersection est le point qui a pour coordonnées \left(-2;\cfrac{5}{7}\right).
Quelles sont les éventuelles valeurs de m pour lesquelles les droites (AB), (CD) et \Delta_m sont concourantes ?
D'après la question précédente, on a montré que les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont sécantes et que leur point d'intersection, nommé O, a pour coordonnées \left(-2;\cfrac{5}{7}\right).
Donc, si les droites \left(AB\right) , \left(CD\right) et \Delta_m sont concourantes, leur point de concourt sera le point O qui a pour coordonnées \left(-2;\cfrac{5}{7}\right).
Autrement dit :
O\left(-2;\cfrac{5}{7}\right)\in\Delta_m \Leftrightarrow -2+\cfrac{5}{7}m^2+1=0 \Leftrightarrow -1+\cfrac{5}{7}m^2=0 \Leftrightarrow m^2=\cfrac{7}{5}\Leftrightarrow m=\sqrt{\cfrac{7}{5}}\text{ ou } m=-\sqrt{\cfrac{7}{5}}
Les droites \left(AB\right), \left(CD\right) et \Delta_m sont concourantes en un point de coordonnées \left(-2;\cfrac{5}{7}\right) si et seulement si m=\cfrac{\sqrt{35}}{5}\text{ ou } m=-\cfrac{\sqrt{35}}{5}.