Dans un repère \left(O;\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right), on donne les points suivants :
A\left(-2{,}5\right), B\left(-1{,}3\right), C\left(-4;1\right) et D\left(3;0\right)
Pour tout réel m, on appelle \Delta_m la droite d'équation x+y+m=0.
Quelles sont les éventuelles valeurs de m pour lesquelles le point A appartient à la droite \Delta_m ?
Dans tout le problème, on se place dans un repère \left(O;\overrightarrow{\imath};\overrightarrow{\jmath}\right).
A\left(-2;5\right)\in\Delta_m\Leftrightarrow -2+5+m=0 \Leftrightarrow m=-3
A\in\Delta_m \Leftrightarrow m=-3
La droite \Delta_m passe-t-elle par un autre point de l'énoncé ?
On a montré précédemment que :
A\in\Delta_m \Leftrightarrow m=-3
Une équation de la droite \Delta_m passant par A est du type : x+y-3=0
Or, on remarque que le point D\left(3;0\right)\in\Delta_{-3}, car 3+0-3=0.
Par contre, les points B et C n'appartiennent pas à la droite \Delta_{-3}.
La droite \Delta_{-3} passe bien par un autre point de l'énoncé, à savoir le point D.
Existe-t-il des valeurs de m pour lesquelles la droite \Delta_m est parallèle à la droite (AB) ?
On cherche tout d'abord un vecteur directeur de la droite \left(AB\right).
\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right), donc :
\overrightarrow{AB}\left(-1-\left(-2\right);3-5\right), donc :
\overrightarrow{AB}\left(1;-2\right)
Le vecteur qui a pour coordonnées \left(1;-2\right) est un vecteur directeur de la droite \left(AB\right).
Il existe donc un réel c tel que -2x-y+c=0, soit une équation de la droite \left(AB\right).
Or, le point A appartient à la droite \left(AB\right), donc :
A\in\left(AB\right)\Leftrightarrow -2\times \left(-2\right)-5+c=0 \Leftrightarrow c=1
Une équation cartésienne de la droite \left(AB\right) est donc :
-2x-y+1=0
Il reste à déterminer les éventuelles valeurs de m, pour lesquelles la droite \left(AB\right) et la droite \Delta_m sont parallèles.
Or, d'après le cours, un vecteur directeur de la droite \Delta_m est le vecteur \overrightarrow{u}\left(-1;1\right).
Donc :
Les droites \left(AB\right) et \Delta_m sont parallèles si et seulement si les vecteurs \overrightarrow{AB}\left(1;-2\right) et \overrightarrow{u}\left(-1;1\right) sont colinéaires.
On calcule donc :
1\times\left(-1\right)-\left(-2\right)\times 1=1\neq0
Les vecteurs \overrightarrow{AB}\left(1;-2\right) et \overrightarrow{u}\left(-1;1\right) ne sont donc pas colinéaires.
Les droites \left(\Delta_m\right) et \left(AB\right) ne sont donc pas parallèles.
Il n'existe donc pas de valeur de m pour laquelle les droites \Delta_m et \left(AB\right) sont parallèles.
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont-elles sécantes et, si oui, quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection ?
D'après la question précédente, on a déterminé un vecteur directeur de la droite \left(AB\right) qui a pour coordonnées \left(1;-2\right).
On cherche à présent un vecteur directeur de la droite \left(CD\right).
\overrightarrow{CD}\left(x_D-x_C;y_D-y_C\right), donc :
\overrightarrow{CD}\left(3-\left(-4\right);0-1\right), donc :
\overrightarrow{CD}\left(7;-1\right)
Le vecteur qui a pour coordonnées \left(7;-1\right) est un vecteur directeur de la droite \left(CD\right).
Il existe donc un réel c tel que -x-7y+c=0 soit une équation cartésienne de la droite \left(CD\right).
Or, C\left(-4;1\right)\in\left(CD\right), donc :
C\in\left(CD\right)\Leftrightarrow -\left(-4\right)-7\times1+c=0\Leftrightarrow -3+c=0 \Leftrightarrow c=3
Une équation cartésienne de la droite \left(CD\right) est donc :
-x-7y+3=0
On vérifie à présent que les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont sécantes.
On sait que :
- Une équation cartésienne de la droite \left(AB\right) est : -2x-y+1=0
- Une équation cartésienne de la droite \left(CD\right) est : -x-7y+3=0
On doit à présent résoudre le système \left(S\right) suivant :
\left(S\right):\begin{cases} -2x-y+1=0 \cr \cr -x-7y+3=0 \end{cases}
\Leftrightarrow\begin{cases} -2x-y=-1\qquad\left(L_1\right) \cr \cr -x-7y=-3\qquad\left(L_2\right)\end{cases}\\\Leftrightarrow\begin{cases} -2x+2x-y+14y=6-1\qquad\qquad-2\left(L_2\right)+\left(L_1\right) \cr \cr -x-7y=-3 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \left(L_2\right) \end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} y=\cfrac{5}{13} \cr \cr -x-7\times\cfrac{5}{13}=-3\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} y=\cfrac{5}{13} \cr \cr x=3-\cfrac{35}{13}\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} y=\cfrac{5}{13} \cr \cr x=\cfrac{4}{13}\end{cases}
Les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont bien sécantes et leur point d'intersection est le point qui a pour coordonnées \left(\cfrac{4}{13};\cfrac{5}{13}\right).
Quelles sont les éventuelles valeurs de m pour lesquelles les droites (AB), (CD) et \Delta_m sont concourantes ?
D'après la question précédente, on a montré que les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont sécantes et que leur point d'intersection, nommé O, a pour coordonnées \left(\cfrac{4}{13};\cfrac{5}{13}\right).
Donc, si les droites \left(AB\right) , \left(CD\right) et \Delta_m sont concourantes, leur point de concourt sera le point O qui a pour coordonnées \left(\cfrac{4}{13};\cfrac{5}{13}\right).
Autrement dit :
O\left(\cfrac{4}{13};\cfrac{5}{13}\right)\in\Delta_m \Leftrightarrow \cfrac{4}{13}+\cfrac{5}{13}+m=0 \Leftrightarrow \cfrac{9}{13}+m=0 \Leftrightarrow m=-\cfrac{9}{13}
Les droites \left(AB\right), \left(CD\right) et \Delta_m sont concourantes en un point de coordonnées \left(\cfrac{4}{13};\cfrac{5}{13}\right) si et seulement si m=-\cfrac{9}{13}.