En 2000 la population d'une ville était de 22 000 habitants.
L'évolution du nombre d'habitants de cette ville depuis cette date est donnée par le tableau suivant :
| Année | 2004 | 2008 | 2010 | 2014 |
|---|---|---|---|---|
| Pourcentage d'évolution | -8% | -6% | -5% | -2% |
A titre d'exemple, l'évolution du nombre d'habitants entre 2004 et 2008 est de -6%.
Dans quel tableau a-t-on correctement complété une troisième ligne indiquant, pour chaque année, le nombre d'habitants de cette ville ?
Le nombre d'habitants en 2000 est N2000 = 22 000.
On peut ensuite calculer le nombre d'habitants pour chaque année.
Nombre d'habitants en 2004
Entre 2000 et 2004, la diminution est de 8%
Pour diminuer un nombre de 8%, on le multiplie par 1-\dfrac{8}{100}
On obtient :
N_{2\ 004}=N_{2\ 000}\times\left(1-\dfrac{8}{100}\right)
N_{2\ 004}=22\ 000\times0{,}92
N_{2\ 004}=20\ 240
Nombre d'habitants en 2008
Entre 2006 et 2007, l'augmentation est de 16%
Pour augmenter un nombre de 16%, on le multiplie par 1+\dfrac{16}{100}
On obtient :
S_{2\ 007}=S_{2\ 006}\times\left(1+\dfrac{16}{100}\right)
S_{2\ 007}=17\ 850\times1{,}16
S_{2\ 007}=20\ 706
Nombre d'habitants en 2010
Entre 2008 et 2010, la diminution est de 5%
Pour diminuer un nombre de 5%, on le multiplie par 1-\dfrac{5}{100}
On obtient :
N_{2\ 010}=N_{2\ 008}\times\left(1-\dfrac{5}{100}\right)
N_{2\ 010}=19\ 026\times0{,}95
N_{2\ 010}\approx18\ 075
Nombre d'habitants en 2014
Entre 2010 et 2014, la diminution est de 2%
Pour diminuer un nombre de 2%, on le multiplie par 1-\dfrac{2}{100}
On obtient :
N_{2\ 014}=N_{2\ 010}\times\left(1-\dfrac{2}{100}\right)
N_{2\ 014}=18\ 075\times0{,}98
N_{2\ 014}\approx17\ 714
On obtient le tableau suivant :
| Année | 2004 | 2008 | 2010 | 2014 |
|---|---|---|---|---|
| Pourcentage d'évolution | -8% | -6% | -5% | -2% |
| Nombre d'habitants | 20 240 | 19 026 | 18 075 | 17 714 |
Une personne prétend que le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année.
Quelle confusion cette personne fait-elle ?
La personne constate une réduction du pourcentage de diminution du nombre d'habitants chaque année. Mais cela ne provoque pas une augmentation du nombre d'habitants mais seulement une diminution plus faible d'année en année.
Quel est le pourcentage d'évolution du nombre d'habitants entre 2000 et 2014 ?
Il est possible d'évaluer le pourcentage de diminution du nombre d'habitants entre 2000 et 2014 de deux manières.
Rapport entre le nombre d'habitants de 2014 et celui de 2000
Entre 2000 et 2014, le nombre d'habitants a été multiplié par :
\dfrac{17\ 714}{22\ 000}\approx0{,}81
Produit des coefficients multiplicateurs entre 2000 et 2014
Entre 2000 et 2014, le nombre d'habitants a été multiplié par :
\left(1-\dfrac{8}{100}\right)\times\left(1-\dfrac{6}{100}\right)\times\left(1-\dfrac{5}{100}\right)\times\left(1-\dfrac{2}{100}\right)\approx0{,}81
Dans les deux cas, on en déduit que le coefficient multiplicateur de la diminution du nombre d'habitants entre 2000 et 2014 est d'environ 0,81.
On a donc :
1-\dfrac{t}{100}=0{,}81
\Leftrightarrow-\dfrac{t}{100}=-0{,}19
\Leftrightarrow t=19
Le nombre d'habitants de cette ville a donc diminué d'environ 19%.