En 2010, le bénéfice d'une société était de 58 500 €.
L'évolution du bénéfice depuis cette date est donnée par le tableau suivant :
| Année | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
|---|---|---|---|---|
| Pourcentage d'évolution | 15% | 12% | 8% | 3% |
À titre d'exemple, l'évolution du bénéfice entre 2011 et 2012 est de 12%.
Dans quel tableau a-t-on correctement complété une troisième ligne indiquant, pour chaque année, le bénéfice réalisé par la société ?
Le bénéfice en 2010 est B2010 = 58 500 €.
On peut ensuite calculer le bénéfice pour chaque année.
Bénéfice en 2011
Entre 2010 et 2011, l'augmentation est de 15%
Pour augmenter un nombre de 15%, on le multiplie par 1+\dfrac{15}{100}
On obtient :
B_{2\ 011}=B_{2\ 010}\times\left(1+\dfrac{15}{100}\right)
B_{2\ 011}=58\ 500\times1{,}15
B_{2\ 011}=67\ 275
Bénéfice en 2012
Entre 2011 et 2012, l'augmentation est de 12%
Pour augmenter un nombre de 12%, on le multiplie par 1+\dfrac{12}{100}
On obtient :
B_{2\ 012}=B_{2\ 011}\times\left(1+\dfrac{12}{100}\right)
B_{2\ 012}=67\ 275\times1{,}12
B_{2\ 012}=75\ 348
Bénéfice en 2013
Entre 2012 et 2013, l'augmentation est de 8%
Pour augmenter un nombre de 8%, on le multiplie par 1+\dfrac{8}{100}
On obtient :
B_{2\ 013}=B_{2\ 012}\times\left(1+\dfrac{8}{100}\right)
B_{2\ 013}=75\ 348\times1{,}08
B_{2\ 013}\approx81\ 376
Bénéfice en 2014
Entre 2013 et 2014, l'augmentation est de 3%
Pour augmenter un nombre de 3%, on le multiplie par 1+\dfrac{3}{100}
On obtient :
B_{2\ 014}=B_{2\ 013}\times\left(1+\dfrac{3}{100}\right)
B_{2\ 014}=81\ 376\times1{,}03
B_{2\ 014}\approx83\ 814
On obtient le tableau suivant :
| Année | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
|---|---|---|---|---|
| Pourcentage d'évolution | 15% | 12% | 8% | 3% |
| Montant du bénéfice (en €) | 67 275 | 75 348 | 81 376 | 83 817 |
Le patron s'inquiète de la diminution année après année du bénéfice.
Quelle confusion le patron fait-il ?
Le patron confond le pourcentage d'augmentation du bénéfice qui diminue effectivement chaque année, avec le montant du bénéfice, qui augmente par contre chaque année.
Quel est le pourcentage d'évolution du bénéfice entre 2010 et 2014 ?
Il est possible d'évaluer le pourcentage d'augmentation du montant de la subvention entre 2005 et 2010 de deux manières.
Rapport entre le bénéfice de 2014 et celui de 2010
Entre 2010 et 2014, le bénéfice a été multiplié par :
\dfrac{83\ 817}{58\ 500}\approx1{,}43
Produit des coefficients multiplicateurs entre 2010 et 2014
Entre 2010 et 2014, le bénéfice a été multiplié par :
\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{12}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{8}{100}\right)\times\left(1+\dfrac{3}{100}\right)\approx1{,}43
Dans les deux cas, on en déduit que le coefficient multiplicateur du bénéfice entre 2010 et 2014 est d'environ 1,43.
On a donc :
1+\dfrac{t}{100}=1{,}43
\Leftrightarrow\dfrac{t}{100}=0{,}43
\Leftrightarrow t=43
Le bénéfice de la société a donc augmenté d'environ 43%.