Physique et instruments de musiqueExercice type bac

Un capodastre est un accessoire que l'on fixe en travers du manche d'une guitare sur une case particulière. De composition très variable (élastique, ressort ou boulon), il raccourcit la longueur de toutes les cordes sans modifier leurs tensions, ce qui crée en fait un nouveau sillet. Toutes les cordes à vide jouent maintenant des tons de hauteur supérieure à ceux qu'elles produisent sans le capodastre.

Photographie d'un capodastre placé sur la 3e case du manche d'une guitare

Photographie d'un capodastre placé sur la 3e case du manche d'une guitare

La principale fonction du sillet est de maintenir les cordes au niveau de la tête de la guitare. Le sillet fixe ainsi la limite haute des cordes de la guitare, tout comme le chevalet sur la partie basse de l'instrument. Il joue ainsi le rôle de "frette zéro" et détermine donc le son des cordes à vide obtenu lorsqu'on fait vibrer une corde sans placer de doigt sur le manche.

Dans cet exercice, on s'intéresse au rôle du capodastre utilisé par les guitaristes.

Document 1

Photographie d'une guitare

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Document 2

Les cordes

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Document 3

Comment la gamme tempérée est-elle bâtie ?

D'après Les sons en 150 questions

La gamme tempérée, ou plus exactement la gamme à tempérament égal, divise l'octave en douze demi-tons, ou intervalles chromatiques, selon la séquence suivante : do, do dièse, ré, ré dièse, mi, fa, fa dièse, sol, sol dièse, la, la dièse, si. Pour passer d'une de ces notes à la suivante, on multiplie la fréquence par 1,059 (racine douzième de 2 pour les mathématiciens), ce qui revient à monter le son d'un demi-ton. Quand on a multiplié douze fois par 1,059, c'est-à-dire par 2, on tombe dans l'octave suivante. On reprend alors la séquence : do, do dièse, ré, ré dièse, mi, fa, fa dièse, sol, sol dièse, la, la dièse, si.

Fréquence des notes de la gamme tempérée

Notes Fréquences en Hertz par octave
1 2 3
Do 65,41 130,81 261,63
73,52 146,83 293,66
Mi 82,41 164,81 329,63
Fa 87,31 174,61 349,23
Sol 98,00 196,00 392,00
La 110,00 220,00 440,00
Si 123,47 246,9 493,88
Document 4

Les vibrations d'une corde idéale

Adapté du livre Le guide du cordage

[…] Il y a une relation incontournable : celle qui donne la hauteur de son d'une corde en fonction de tout le reste (longueur, tension, etc) […]
On montre que la fréquence fondamentale f d'une corde tendue, la longueur L, sa tension T et sa masse linéique \mu (masse d'une longueur de corde d'un mètre) sont reliés par :

f = \dfrac{1}{2 L} \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}

qui donne la fréquence fondamentale de la vibration transversale. Elle montre par exemple qu'à tension et longueur données, une corde plus lourde sonnera plus grave.

Quels sont les trois paramètres dont dépend la fréquence de vibration d'une corde ?

Quel est le paramètre modifié par l'utilisation du capodastre ?

On place le capodastre à la troisième case. On souhaite vérifier que dans cette situation la corde n°1 joue à vide trois demi-tons au-dessus de la note jouée sans capodastre.

a

Quelle est la note jouée par la corde n°1 à vide sans capodastre ?

b

Quelle est la fréquence de cette note ?

c

Quel est alors le calcul correct de la fréquence de la note émise avec le capodastre si celle-ci est trois demi-tons au-dessus ?

d

Quel est le calcul correct de la longueur de corde n°1 pour qu'elle produise une note de fréquence f_{capodastre} ?

e

D'après le document 1 et en utilisant un produit en croix, quel calcul permet de vérifier que lorsque le capodastre est placé sur la troisième frette, la longueur de la corde est 54 cm ?

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