Le capodastre
Un capodastre est un accessoire que l'on fixe en travers du manche d'une guitare sur une case particulière. De composition très variable (élastique, ressort ou boulon), il raccourcit la longueur de toutes les cordes sans modifier leurs tensions, ce qui crée en fait un nouveau sillet. Toutes les cordes à vide jouent maintenant des tons de hauteur supérieure à ceux qu'elles produisent sans le capodastre.
Photographie d'un capodastre placé sur la 3e case du manche d'une guitare
La principale fonction du sillet est de maintenir les cordes au niveau de la tête de la guitare. Le sillet fixe ainsi la limite haute des cordes de la guitare, tout comme le chevalet sur la partie basse de l'instrument. Il joue ainsi le rôle de "frette zéro" et détermine donc le son des cordes à vide obtenu lorsqu'on fait vibrer une corde sans placer de doigt sur le manche.
Dans cet exercice, on s'intéresse au rôle du capodastre utilisé par les guitaristes.
Photographie d'une guitare
Les cordes
Numéro des cordes d'une guitare et note obtenue lorsque l'on joue chaque corde "à vide" (c'est-à-dire que la corde vibre sur toute sa longueur sans que le musicien ne place ses doigts sur les cases du manche de la guitare).
Reproduction d'une pochette de cordes nylon de guitare classique
Comment la gamme tempérée est-elle bâtie ?
D'après Les sons en 150 questions
La gamme tempérée, ou plus exactement la gamme à tempérament égal, divise l'octave en douze demi-tons, ou intervalles chromatiques, selon la séquence suivante : do, do dièse, ré, ré dièse, mi, fa, fa dièse, sol, sol dièse, la, la dièse, si. Pour passer d'une de ces notes à la suivante, on multiplie la fréquence par 1,059 (racine douzième de 2 pour les mathématiciens), ce qui revient à monter le son d'un demi-ton. Quand on a multiplié douze fois par 1,059, c'est-à-dire par 2, on tombe dans l'octave suivante. On reprend alors la séquence : do, do dièse, ré, ré dièse, mi, fa, fa dièse, sol, sol dièse, la, la dièse, si.
Fréquence des notes de la gamme tempérée
| Notes | Fréquences en Hertz par octave | ||
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | |
| Do | 65,41 | 130,81 | 261,63 |
| Ré | 73,52 | 146,83 | 293,66 |
| Mi | 82,41 | 164,81 | 329,63 |
| Fa | 87,31 | 174,61 | 349,23 |
| Sol | 98,00 | 196,00 | 392,00 |
| La | 110,00 | 220,00 | 440,00 |
| Si | 123,47 | 246,9 | 493,88 |
Les vibrations d'une corde idéale
Adapté du livre Le guide du cordage
[…] Il y a une relation incontournable : celle qui donne la hauteur de son d'une corde en fonction de tout le reste (longueur, tension, etc) […]
On montre que la fréquence fondamentale f d'une corde tendue, la longueur L, sa tension T et sa masse linéique \mu (masse d'une longueur de corde d'un mètre) sont reliés par :
f = \dfrac{1}{2 L} \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}
Qui donne la fréquence fondamentale de la vibration transversale. Elle montre par exemple qu'à tension et longueur données, une corde plus lourde sonnera plus grave.
Question préalable :
Déterminer les paramètres physiques de la corde dont dépend sa fréquence de vibration et préciser le ou lesquels de ces paramètres reste(nt) fixes lors de l'utilisation d'un capodastre.
La relation du document 4 montre que la fréquence de vibration dépend de la masse linéique \mu, de la tension T et de la longueur L de la corde.
Le capodastre n'intervient qu'au niveau du paramètre longueur de la corde, les autres paramètres sont constants.
Problème :
Comment peut-on montrer que lorsqu'on place le capodastre à la troisième case, la corde n°1 joue à vide trois demi-tons au-dessus de celui joué sans capodastre ?
D'après le document 2, la corde n°1 produit, sans capodastre, la note Mi3. Or, d'après le document 3, la fréquence correspondante est fMi3 = 329,63 Hz.
De plus, d'après le document 3, la fréquence augmente d'un demi-ton lorsqu'elle est multipliée par 1,059 ou 21/12.
On en déduit que lorsque la corde produit des sons augmentés de trois demi-tons, alors la fréquence a été multipliée par (21/12)3.
Ainsi, on peut calculer la fréquence f de la corde n°1 avec le capodastre à partir de la relation :
f= \left(2^{1/12}\right)^3×f_{Mi3}
f= \left(2^{1/12}\right)^3 \times 329{,}63
f= 391{,}48 Hz
On utilise ensuite la relation donnée dans le document 4 :
f = \dfrac{1}{2 L} \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}
L = \dfrac{1}{2f} \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}
On effectue l'application numérique :
L = \dfrac{1}{2\times 391{,}48} \sqrt{\dfrac{74{,}85}{0{,}419 \times 10^{-3}}}
L= 0{,}5398 m
L= 54{,}0 cm
On vérifie que cette longueur de corde est bien celle obtenue lorsque le capodastre est placé sur la 3e case du manche.
On mesure 18,4 cm sur le schéma du document 1.
En utilisant l'échelle indiquée et par proportionnalité, on en déduit la longueur L :
6,8 cm schéma ↔ 20 cm en réalité
18,4 cm schéma ↔ L cm en réalité
L = \dfrac{20 \times 18{,}4}{6{,}8}
L = 54 cm
On vient donc de montrer que lorsque l'on place le capodastre à la troisième case, la corde n°1 joue à vide trois demi-tons au-dessus de celui joué sans capodastre.