Un patineur artistique d'une masse de 80 kg va à 7,2 m.s-1 et attrape dans ses bras sa partenaire de 50 kg immobile sur la patinoire.
Quelle est ensuite la vitesse de l'ensemble ?
On considère le système S constitué du patineur et de sa partenaire. Ce système est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Dans ce cas il y a conservation de la quantité de mouvement du système :
\left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{avant}=\left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{après}
On nomme \overrightarrow{p_P} la quantité de mouvement du patineur et \overrightarrow{p_E} celle de sa partenaire, ainsi :
\left\{ \overrightarrow{p_P} +\overrightarrow{p_E}\right\}_{avant}=\left\{ \overrightarrow{p_P} +\overrightarrow{p_E}\right\}_{après}
Avant :
- \overrightarrow{p_P}=m_P \overrightarrow{v_P}, soit : \overrightarrow{p_P}=m_P v_P \overrightarrow{i} en N.s avec \overrightarrow{i} selon l'axe des x
- \overrightarrow{p_E}=\overrightarrow{0}, car sa partenaire est d'abord immobile.
D'où : \left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{avant}=m_P v_P \overrightarrow{i}.
Après :
- \overrightarrow{p_P}=m_P \overrightarrow{v_P}, soit : \overrightarrow{p_P}=m_P \overrightarrow{v} avec \overrightarrow{v} la vitesse du patineur et de sa partenaire
- \overrightarrow{p_E}=m_E \overrightarrow{v_E}, soit : \overrightarrow{p_E}=m_E \overrightarrow{v}
D'où : \left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{après}=\left(m_P+m_E\right) v \overrightarrow{i}.
Finalement en projetant selon l'axe des x :
m_P v_P =\left(m_P+m_E\right) v
On obtient l'expression littérale suivante :
v =\dfrac{m_P}{m_P+m_E} v_P
On effectue l'application numérique :
v =\dfrac{80}{80+50} \times7{,}2
v =4{,}43 m.s-1
La vitesse de l'ensemble vaut v =4{,}43 m.s-1.
Une personne de 65 kg est sur une barque de 50 kg immobile au milieu d'un lac. La personne plonge vers l'arrière de la barque avec une vitesse horizontale de 10 km.h-1.
Quelle est la vitesse de la barque après le plongeon ?
Un patineur artistique d'une masse de 80 kg va à 10 km.h-1 vers sa partenaire de 40 kg qui va aussi vers lui avec la vitesse de 5 km.h-1. Ils s'accrochent l'un à l'autre.
Quelle est ensuite la vitesse de l'ensemble ?
Soit une fusée dans l'espace de 20 t animée d'une vitesse de 70 000 km.h-1. La fusée éjecte 1000 kg de gaz vers l'arrière avec une vitesse de 40 000 m.s-1.
Quelle est ensuite la vitesse de la fusée ?
Un patineur d'une masse de 80 kg va à 5 m.s-1 et attrape son enfant de 20 kg immobile sur le bord de la patinoire.
Quelle est la vitesse du patineur avec l'enfant dans ses bras ?
On considère le système S constitué du patineur et de l'enfant isolé. Ce système est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Dans ce cas il y a conservation de la quantité de mouvement du système :
\left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{avant}=\left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{après}
On nomme \overrightarrow{p_P} la quantité de mouvement du patineur et \overrightarrow{p_E} celle de l'enfant, ainsi :
\left\{ \overrightarrow{p_P} +\overrightarrow{p_E}\right\}_{avant}=\left\{ \overrightarrow{p_P} +\overrightarrow{p_E}\right\}_{après}
Avant :
- \overrightarrow{p_P}=m_P \overrightarrow{v_P}, soit : \overrightarrow{p_P}=m_P v_P \overrightarrow{i} en N.s avec \overrightarrow{i} selon l'axe des x
- \overrightarrow{p_E}=\overrightarrow{0}, car l'enfant est d'abord immobile.
D'où : \left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{avant}=m_P v_P \overrightarrow{i}.
Après :
- \overrightarrow{p_P}=m_P \overrightarrow{v_P}, soit : \overrightarrow{p_P}=m_P \overrightarrow{v} avec \overrightarrow{v} la vitesse du patineur et de l'enfant
- \overrightarrow{p_E}=m_E \overrightarrow{v_E}, soit : \overrightarrow{p_E}=m_E \overrightarrow{v}
D'où : \left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{après}=\left(m_P+m_E\right) v \overrightarrow{i}.
Finalement en projetant selon l'axe des x :
m_P v_P =\left(m_P+m_E\right) v
On obtient l'expression littérale suivante :
v =\dfrac{m_P}{m_P+m_E} v_P
On effectue l'application numérique :
v =\dfrac{80}{80+20} \times5
v =4 m.s-1
La vitesse de l'ensemble vaut v =4 m.s-1.
Une boule de pétanque A de 700 g roule à la vitesse de 2 m.s-1 et vient percuter une autre boule B de même masse et immobile. La première initialement en mouvement s'immobilise.
Quelle est la vitesse de la boule qui repart ?
On considère le système S constitué des deux boules isolées. Ce système est étudié dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Dans ce cas il y a conservation de la quantité de mouvement du système :
\left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{avant}=\left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{après}
On nomme \overrightarrow{p_A} la quantité de mouvement de la première boule et \overrightarrow{p_B} celle de la deuxième, ainsi :
\left\{ \overrightarrow{p_A} +\overrightarrow{p_B}\right\}_{avant}=\left\{ \overrightarrow{p_A} +\overrightarrow{p_B}\right\}_{après}
Avant :
- \overrightarrow{p_A}=m_A \overrightarrow{v_A}, soit : \overrightarrow{p_A}=m_A v_A \overrightarrow{i} en N.s avec \overrightarrow{i} selon l'axe des x
- \overrightarrow{p_B}=\overrightarrow{0}, car cette boule est immobile.
D'où : \left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{avant}=m_A v_A \overrightarrow{i}.
Après :
- \overrightarrow{p_A}=\overrightarrow{0} car la boule est immobile.
- \overrightarrow{p_B}=m_B \overrightarrow{v_B}, soit : \overrightarrow{p_A}=m_A v_B \overrightarrow{i}
D'où : \left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{après}=m_A v_B \overrightarrow{i}
Finalement en projetant selon l'axe des x :
m_A v_A =m_A v_B
On obtient l'expression littérale suivante :
v_B =v_A
D'où :
v_B =2 m.s-1, il y a échange des vitesses.
La vitesse de la boule vaut v_B =2 m.s-1.
Soit une fusée de 100 000 kg animée d'une vitesse de 104 m.s-1 dans l'espace . La fusée éjecte 10 000 kg de gaz vers l"arrière avec une vitesse de 105 m.s-1.
Quelle est ensuite la vitesse de la fusée ?
On considère le système S constitué de la fusée et des gaz isolés. Ce système est étudié dans un référentiel supposé galiléen. Dans ce cas il y a conservation de la quantité de mouvement du système :
\left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{avant}=\left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{après}
On nomme \overrightarrow{p_F} la quantité de mouvement de la fusée et \overrightarrow{p_G} celle des gaz, ainsi :
\left\{ \overrightarrow{p_F} +\overrightarrow{p_G}\right\}_{avant}=\left\{ \overrightarrow{p_F} +\overrightarrow{p_G}\right\}_{après}
Avant :
- \overrightarrow{p_F}=m_F \overrightarrow{v_0}, soit : \overrightarrow{p_{F}}=m_F v_0 \overrightarrow{i} en N.s avec \overrightarrow{i} selon l'axe des x
- \overrightarrow{p_G}=m_G \overrightarrow{v_0}, soit : \overrightarrow{p_G}=m_G v_0 \overrightarrow{i}
D'où : \left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{avant}=\left(m_F+m_G\right) v_0 \overrightarrow{i}
Après :
- \overrightarrow{p_F}=m_F \overrightarrow{v_F}, soit : \overrightarrow{p_F}=m_F v_F\overrightarrow{i}
- \overrightarrow{p_G}=m_G \overrightarrow{v_G}, soit : \overrightarrow{p_G}=-m_Gv_G \overrightarrow{i}
D'où : \left\{ \overrightarrow{p_S}\right\}_{après}=\left(m_F v_F-m_G v_G\right) \overrightarrow{i}
Finalement en projetant selon l'axe des x :
\left(m_F+m_G\right) v_0 =m_F v_F-m_G v_G
On obtient l'expression littérale suivante :
v_F =\dfrac{\left(m_F+m_G\right) v_0 +m_G v_G}{m_F}
On effectue l'application numérique :
v_F =\dfrac{100\ 000\times10^4+10\ 000\times10^5}{90\ 000}
v_F =2{,}2.10^4 m.s-1
La vitesse de la fusée vaut v_F =2{,}2.10^4 m.s-1.
Une personne de 60 kg est sur une barque de 120 kg immobile au milieu d'un lac. La personne plonge vers l'arrière de la barque avec une vitesse horizontale de 3 m/s.
Quelle est la vitesse de la barque après le plongeon ?