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La cinématique et la dynamique Newtonienne Cours

I

La cinématique

La cinématique est l'étude du mouvement d'un corps, indépendamment des causes qui le produisent.

A

Les outils pour décrire un mouvement

1

Le système et le référentiel

Avant de commencer à étudier un mouvement, il est indispensable de préciser le système et le référentiel choisis.

Système

Le système est le corps, ou l'ensemble de corps, dont on étudie le mouvement. On le distingue donc du milieu extérieur.

On s'intéresse à une voiture roulant sur une route. Le mouvement ne sera pas décrit de la même manière si on choisit comme système la voiture ou ses roues.

Généralement, on note le nom du système entre crochets.

Le système peut être {voiture}.

Concrètement, on étudie uniquement le mouvement du centre d'inertie du système.

Le centre d'inertie d'un système est le point dont le mouvement est le plus simple. Il coïncide avec le centre de gravité du corps et pour un corps homogène, il correspond aussi à son centre géométrique.

Un marteau est lancé et tourne sur lui-même. Le centre de gravité G du marteau qui est aussi son centre d'inertie est le seul point à avoir un mouvement simple.

-
Mouvement du centre d'inertie d'un marteau
Référentiel

Le référentiel est l'objet par rapport auquel on étudie le mouvement du système. Il est choisi en fonction du type de mouvements à étudier.

Référentiel terrestre Lié au sol, adapté pour les mouvements au voisinage de la surface terrestre.
Référentiel géocentrique Lié au centre de la Terre, adapté pour les mouvements des satellites, naturels et artificiels.
Référentiel héliocentrique Lié au centre du Soleil, adapté pour les mouvements des astres dans le système solaire.

On associe au référentiel :

  • Un repère d'espace orthonormé \(\displaystyle{ \left( O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)}\) dont l'origine O est fixée géométriquement dans le référentiel d'étude.
  • Un repère de temps dont l'origine est définie par l'instant initial \(\displaystyle{t = 0}\) s.
2

Le vecteur position

Le vecteur position \(\displaystyle{\overrightarrow{OG}}\) permet de repérer la position du centre de gravité G du système à un instant t dans le repère associé au référentiel.

Vecteur position

Si on note x, y et z les coordonnées du centre de gravité G dans le repère orthonormé \(\displaystyle{\left( O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)}\), l'expression du vecteur position est :

\(\displaystyle{\overrightarrow{OG} = x_{\left(t\right)}.\overrightarrow{i} +y_{\left(t\right)}.\overrightarrow{j} + z_{\left(t\right)}.\overrightarrow{k}}\)

Le plus souvent, on étudie des mouvements plans, les coordonnées du centre de gravité G sont alors seulement x et y dans un repère orthonormé \(\displaystyle{\left( O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)}\), l'expression du vecteur position est :

\(\displaystyle{\overrightarrow{OG} = x_{\left(t\right)}.\overrightarrow{i} +y_{\left(t\right)}.\overrightarrow{j}}\)

-
Vecteur position
  • Dans la suite du cours, on se limitera à l'étude des mouvements plans dans un repère \(\displaystyle{\left( O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)}\), on aura donc : \(\displaystyle{ \overrightarrow{OG}_{\left(t\right)} = x_{\left(t\right)}.\overrightarrow{i} +y_{\left(t\right)}.\overrightarrow{j} }\).
  • Il arrive aussi fréquemment d'utiliser le repère \(\displaystyle{\left( O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{k} \right)}\), dans ce cas : \(\displaystyle{ \overrightarrow{OG}_{\left(t\right)} = x_{\left(t\right)}.\overrightarrow{i} +z_{\left(t\right)}.\overrightarrow{k} }\).

Pour indiquer les composantes d'un vecteur dans un repère donné, on peut aussi utiliser la mise en forme :

\(\displaystyle{\overrightarrow{OG} \begin{cases} x_{\left(t\right)} \cr \cr y_{\left(t\right)} \end{cases}}\)

Les vecteurs unitaires étant alors éludés.

Les deux notations suivantes sont équivalentes :

\(\displaystyle{ \overrightarrow{OG} = \left(v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cdot t\right).\overrightarrow{i} +\left(-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2+v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\cdot t \right).\overrightarrow{j}\\\overrightarrow{OG}\begin{cases} x\left(t\right)=v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cdot t\cr \cr y\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2+v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\cdot t \end{cases}}\)

3

Le vecteur vitesse

Les variations du vecteur position, en norme ou en direction, sont suivies à l'aide du vecteur vitesse.

La dérivée, par rapport au temps, d'une fonction f(t) est notée soit \(\displaystyle{\dfrac{df_{\left(t\right)}}{dt}}\), soit f'(t) .

Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse du centre de gravité G du système à l'instant t, noté \(\displaystyle{\overrightarrow{v_G}\left(t\right)}\) ou \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\left(t\right)}\), est la dérivée temporelle du vecteur position. Ainsi, pour un mouvement plan :

\(\displaystyle{\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}=\dfrac{d\overrightarrow{OG_{\left(t\right)}}}{dt}=\dfrac{dx_{\left(t\right)}}{dt}.\overrightarrow{i}+\dfrac{dy_{\left(t\right)}}{dt}.\overrightarrow{j}}\)

Soit :

\(\displaystyle{\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}= v_{x\left(t\right)}. \overrightarrow{i} + v_{y\left(t\right)}. \overrightarrow{j}}\)

\(\displaystyle{v_{x\left(t\right)} = \dfrac{dx_{\left(t\right)}}{dt}}\) et \(\displaystyle{v_{y\left(t\right)} = \dfrac{dy_{\left(t\right)}}{dt}}\) étant alors les composantes (ou coordonnées) du vecteur vitesse.

Soit le vecteur position suivant :

\(\displaystyle{\\\overrightarrow{OG_{\left(t\right)}}\begin{cases} x_{\left(t\right)}=v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cdot t\cr \cr y_{\left(t\right)}=-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2+v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\cdot t \end{cases}}\)

Les composantes du vecteur vitesse du centre de gravité du système s'obtiennent en dérivant celles du vecteur position par rapport au temps :

\(\displaystyle{\\\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}\begin{cases} v_{x\left(t\right)}= \dfrac{dx}{dt} = v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cr \cr v_{y\left(t\right)}=\dfrac{dy}{dt} = - g \cdot t +v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\end{cases}}\)

Le vecteur vitesse du centre de gravité du système est caractérisé par :

  • Sa valeur v (exprimée en m.s−1)
  • Sa direction, donnée par la tangente à la trajectoire au point G.
  • Son sens qui correspond au sens du mouvement à l'instant t.
-
Vecteur vitesse
4

Le vecteur accélération

Les variations du vecteur vitesse, en norme ou en direction, sont suivies à l'aide du vecteur accélération.

Vecteur accélération

Le vecteur accélération du centre de gravité G du système à un instant t, noté \(\displaystyle{\overrightarrow{a_{G\left(t\right)}}}\) ou \(\displaystyle{\overrightarrow{a_{\left(t\right)}}}\) est la dérivée temporelle de son vecteur vitesse. Ainsi, pour un mouvement plan :

\(\displaystyle{\overrightarrow{a_{\left(t\right)}}=\dfrac{d\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}}{dt}=\dfrac{dv_{x\left(t\right)}}{dt}.\overrightarrow{i}+\dfrac{dv_{y\left(t\right)}}{dt}.\overrightarrow{j}}\)

\(\displaystyle{\overrightarrow{a_{x\left(t\right)}}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{a_{y\left(t\right)}}}\) étant alors les composantes (ou coordonnées) du vecteur accélération.

Soit le vecteur vitesse suivant :

\(\displaystyle{\\\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}\begin{cases} v_{x\left(t\right)} = v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cr \cr v_{y\left(t\right)} = - g \cdot t +v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\end{cases}}\)

Les composantes du vecteur accélération du centre de gravité du système s'obtiennent en dérivant celles du vecteur vitesse par rapport au temps :

\(\displaystyle{\\\overrightarrow{a_{\left(t\right)}}\begin{cases} a_{x\left(t\right)}= \dfrac{dv_{x}}{dt} = 0\cr \cr a_{y\left(t\right)}=\dfrac{dv_y}{dt} = - g \end{cases}}\)

Le vecteur accélération du centre de gravité du système est caractérisé par :

  • Sa valeur a (exprimée en m.s−2)
  • Sa direction, définie par la variation de direction du vecteur vitesse.
  • Son sens, défini par la variation de norme du vecteur vitesse
-
Vecteur accélération
5

Le vecteur quantité de mouvement

La quantité de mouvement d'un corps permet de tenir compte de l'effet de sa masse lors de ses mouvements et d'étudier les systèmes constitués de plusieurs corps.

Vecteur quantité de mouvement

Le vecteur quantité de mouvement noté \(\displaystyle{\overrightarrow{p}}\) du centre d'inertie d'un système de masse m et animé d'un mouvement de vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) est :

\(\displaystyle{\overrightarrow{p} = m \cdot \overrightarrow{v}}\)

-
Vecteur quantité de mouvement

Le vecteur quantité de mouvement possède les caractéristiques suivantes :

  • Sa valeur p : \(\displaystyle{p = m \cdot v}\), qui s'exprime en en kg.m.s−1
  • Sa direction et son sens, identiques à ceux du vecteur vitesse

Soit une voiture pesant 1,5 tonne et roulant à 36 km.h−1 (soit 10 m.s−1). La valeur de sa quantité de mouvement est :

\(\displaystyle{p=m\cdot v}\)

\(\displaystyle{p=1,5\times 10^3 \times10}\)

\(\displaystyle{p=1,5\times 10^4 }\) kg.m.s−1

B

Les différents types de mouvements

1

Le mouvement rectiligne

Mouvement rectiligne

Un mouvement est dit rectiligne si la trajectoire suivie par le point mobile est une droite.

-
Mouvement rectiligne

Dans un mouvement rectiligne, le vecteur vitesse et le vecteur accélération sont colinéaires.

-
Vecteurs vitesse et accélération d'un mouvement rectiligne

Les mouvements rectilignes sont qualifiés différemment en fonction du vecteur accélération :

  • Si \(\displaystyle{\overrightarrow{a_{\left(t\right)}} = \overrightarrow{0} }\) , la vitesse est constante et le mouvement est rectiligne uniforme.
  • Si \(\displaystyle{\overrightarrow{a_{\left(t\right)}}=\overrightarrow{constante}}\) , le mouvement est rectiligne uniformément accéléré, le mouvement est accéléré si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{a_{\left(t\right)}}}\) sont de même sens et ralenti si ils sont opposés.
2

Le mouvement circulaire

Mouvements curviligne et circulaire

Un mouvement est dit curviligne si la trajectoire suivie par le point mobile est une courbe et circulaire si c'est un cercle.

-
Mouvement circulaire

Dans un mouvement curviligne, le vecteur accélération est toujours dirigé vers l'intérieur de la trajectoire.

-

Les mouvements circulaires sont qualifiés différemment en fonction des vecteurs vitesse et accélération :

  • Si la valeur de la vitesse v est constante, le mouvement est circulaire uniforme.
  • Si \(\displaystyle{\overrightarrow{a_{\left(t\right)}}=\overrightarrow{constante}}\), le mouvement est circulaire uniformément accéléré.
II

Le bilan des forces appliquées à un système

A

Le bilan des forces et la notion de résultante des forces

Effectuer le bilan des forces consiste à répertorier toutes les forces qui s'exercent sur le système.

Un corps qui a été lâché ou lancé depuis une certaine altitude subit la pesanteur terrestre et les frottements exercés par l'air. Le bilan des forces pour ce système comporte donc uniquement ces deux forces.

Résultante des forces

La résultante des forces est la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur le système. Globalement, tout se passe comme si elle seule s'exerçait sur le système.

Un pendule est soumis à son poids \(\displaystyle{\overrightarrow{P}}\) et à la tension du fil \(\displaystyle{\overrightarrow{T}}\). La résultante des forces extérieures qu'il subit est \(\displaystyle{\overrightarrow{S} = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{T}}\).

-
Résultante des forces
B

Système isolé et pseudo-isolé

En mécanique, les notions de systèmes isolé et pseudo-isolé est très importante.

Système isolé

Un système est dit isolé si aucune force ne s'exerce sur lui.

Un corps situé dans l'espace et éloigné de tout astre peut être considéré comme un système isolé.

Système pseudo-isolé

Un système est dit pseudo-isolé si les forces qui s'exercent sur lui se compensent.

Un livre posé sur une table est soumis à son poids et à la réaction normale de la table. Ces deux forces se compensent, le livre est donc un système pseudo-isolé.

Pour les systèmes isolés ou pseudo-isolés, la résultante des forces extérieures est égale au vecteur nul.

  • Parce qu'aucune force ne s'exerce sur un système isolé.
  • Parce que les forces qui s'exercent sur une système pseudo-isolé se compensent, ce qui signifie que leur somme vectorielle est égale au vecteur nul.
-

Système pseudo-isolé

III

La dynamique : les lois de Newton

La dynamique est l'étude du mouvement d'un système en fonction des forces qui lui sont appliquées.

A

La 1ère loi de Newton : le principe de l'inertie

Newton a énoncé le principe de l'inertie en 1686.

1ère loi de Newton ou principe de l'inertie

Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces extérieures qui s'exercent sur lui se compensent, ou en l'absence de forces extérieures.

Si on pousse une balle sur un support pour lequel les frottements sont négligeables, celle-ci sera soumise uniquement à son poids et à la réaction normale du support. Puisque ces deux forces se compensent, le mouvement de la balle sera rectiligne et uniforme.

B

La notion de référentiel galiléen

Référentiel galiléen

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié.

Le référentiel héliocentrique est galiléen. Les référentiels géocentrique et terrestre le sont aussi,mais seulement pour des expériences de courte durée.

Tout référentiel lié à un corps dont le mouvement est rectiligne et uniforme dans un référentiel galiléen est aussi un référentiel galiléen.

Un train est en mouvement rectiligne et uniforme dans le référentiel terrestre. Le référentiel lié à ce train sera donc lui aussi galiléen.

C

La 2e loi de Newton : la relation fondamentale de la dynamique

2ème loi de Newton ou relation fondamentale de la dynamique

Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces extérieures appliquées à un système est égale à la dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement du centre d'inertie de ce système :

\(\displaystyle{\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} = \dfrac{d\overrightarrow{p}\left(t\right)}{dt}}\)

Ce qui donne aussi, pour un système dont la masse est constante (ce qui est généralement le cas) :

\(\displaystyle{\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} = m \times \overrightarrow{a}}\)

Si un système est soumis à des forces qui se compensent, on a :

\(\displaystyle{\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} = \overrightarrow{0}}\)

D'où :

\(\displaystyle{\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}}\)

On en déduit que la vitesse d'un système pseudo-isolé est constante et donc que son mouvement est rectiligne et uniforme : ce qu'énoncé le principe d'inertie.

Une des conséquences de la deuxième loi de Newton est que le vecteur accélération d'un système est colinéaire et de même sens que la résultante des forces extérieures \(\displaystyle{\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}}}\).

-

Vecteurs accélération et résultante des forces

D

La 3e loi de Newton : les actions réciproques

3ème loi de Newton ou principe des actions réciproques

Si un système A exerce une force \(\displaystyle{\overrightarrow{F_{A/B}}}\) sur un système B, alors le système B exerce une force \(\displaystyle{\overrightarrow{F_{B/A}}}\) sur le système A de même intensité, ayant la même direction mais de sens opposé. Cela se traduit par l'équation vectorielle suivante :

\(\displaystyle{\overrightarrow{F_{A/B}}=-\overrightarrow{F_{B/A}}}\)

Même si un seul patineur en pousse un deuxième, les deux exercent une force l'un sur l'autre, de mêmes valeur et direction mais de sens opposés.

-
Principe des actions réciproques
E

Application : le mouvement d'un corps dans un champ uniforme

Dans cette partie, on considère, dans un plan (Oxy), un système de masse m, de charge totale q et possédant une vitesse initiale \(\displaystyle{\overrightarrow{v_0}}\). Le mouvement de ce système dépend du champ uniforme dans lequel il est situé. En terminale, le cours se limite aux champs électrique et de pesanteur.

Champ uniforme

Un champ uniforme est un champ vectoriel qui reste identique en tout point de l'espace considéré.

Le champ de pesanteur est un champ uniforme à proximité de la surface terrestre défini par le vecteur accélération de la pesanteur \(\displaystyle{\overrightarrow{g}}\) dont les caractéristiques sont les suivantes :

  • Sa direction est la verticale du lieu considéré.
  • Son sens est toujours celui définissant une orientation vers le sol du lieu considéré.
  • Sa norme vaut environ 9,81 N.kg−1.

Le champ électrique \(\displaystyle{\overrightarrow{E}}\) entre deux armatures planes d'un condensateur est un champ uniforme dont les caractéristiques sont les suivantes :

  • Sa direction est celle définie par la perpendiculaire aux surfaces des armatures.
  • Son sens correspond à l'orientation pointant vers l'armature chargée négativement.
  • Sa norme dépend de la différence de potentiel entre les armatures et s'exprime en V.m−1.

Poids

Dans un champ de pesanteur, la force qui s'exerce sur un système de masse m est le poids :

\(\displaystyle{\overrightarrow{P} = m \overrightarrow{g}}\)

-
Vecteur champ de pesanteur et poids

Force électrique

Dans un champ électrique, la force qui s'exerce sur un système de charge q est la force électrique :

\(\displaystyle{\overrightarrow{F_e} = q \overrightarrow{E}}\)

-
Vecteur champ électrique et force électrique

La deuxième loi de Newton permet de relier les actions mécaniques qui agissent sur un système et leur conséquence sur le mouvement de ce système. Elle permet donc de prévoir l'évolution du mouvement d'un système en donnant les équations horaires de son mouvement (x(t), y(t) et z(t)) et l'équation de sa trajectoire (en deux dimensions et suivant le nom de l'axe vertical y(x) ou z(x)).

Expression du vecteur accélération

Pour un système de masse constante, la deuxième loi de Newton donne :

\(\displaystyle{\sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = m \overrightarrow{a}}\)

Soit :

  • Si le système est soumis à un champ de pesanteur : \(\displaystyle{\overrightarrow{P} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow m \overrightarrow{g} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{g} }\)
  • Si le système est soumis à un champ électrique : \(\displaystyle{\overrightarrow{F_e} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow q \overrightarrow{E} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \dfrac{q}{m}\overrightarrow{E} }\)

Composantes du vecteur accélération

Les composantes du vecteur accélération dans le repère (Oxy) dépendent alors de celles du champ de pesanteur ou du champ électrique :

  • Dans un champ de pesanteur : \(\displaystyle{\overrightarrow{a}\begin{cases} a_x \cr \cr a_y \end{cases} = \overrightarrow{g}\begin{cases} g_x \cr \cr g_y \end{cases}}\)
  • Dans un champ électrique : \(\displaystyle{\overrightarrow{a}\begin{cases} a_x \cr \cr a_y \end{cases} = \dfrac{q}{m}\times \overrightarrow{E}\begin{cases} \dfrac{q}{m} \times E_x \cr \cr \dfrac{q}{m} \times E_y \end{cases}}\)

Il faut donc déterminer les composantes des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{g}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{E}}\), en fonction de leur orientation dans le repère.

-
Composantes du vecteur champ de pesanteur
-
Composantes du vecteur champ de pesanteur

Équations horaires

Les équations horaires sont les équations donnant la position du système en fonction du temps. Elles s'obtiennent en intégrant (c'est-à-dire en faisant le contraire de la dérivée) deux fois les équations du mouvement (composantes de l'accélération).

Dans ce cours, il faut savoir déterminer (seulement) trois types de primitives :

-

Intégrations successives

Équations horaires de la vitesse

On obtient les équations horaires de la vitesse du système en intégrant les composantes du vecteur accélération en fonction du temps. Les constantes d'intégration sont alors égales aux composantes du vecteur vitesse initiale \(\displaystyle{\overrightarrow{v_0}}\) du système.

  • Dans le cas du champ de pesanteur précédent : \(\displaystyle{\overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = v_{0x} \cr \cr v_{y} =-g \times t + v_{0y} \cr \end{cases}}\)
  • Dans le cas du champ électrique précédent : \(\displaystyle{\overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = \dfrac{q}{m} \times E \times t + v_{0x} \cr \cr v_{y} = v_{0y} \cr \end{cases}}\)
  • Dans le cas du champ de pesanteur précédent : \(\displaystyle{\overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = v_{0x} \cr \cr v_{y} =-g \times t + v_{0y} \cr \end{cases}}\)
  • Dans le cas du champ électrique précédent : \(\displaystyle{\overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = \dfrac{q}{m} \times E \times t + v_{0x} \cr \cr v_{y} = v_{0y} \cr \end{cases}}\)

Pour déterminer les composantes du vecteur vitesse initiale \(\displaystyle{\overrightarrow{v_0}}\), il faut projeter celui-ci sur les axes du repère et tenir compte de son orientation :

-
-

Équations horaires de la position

On obtient les équations horaires de la position du système en intégrant les composantes du vecteur vitesse en fonction du temps. Les constantes d'intégration sont alors égales aux composantes du vecteur position initiale \(\displaystyle{\overrightarrow{OG_0}}\) du système.

  • Dans le cas du champ de pesanteur précédent : \(\displaystyle{\overrightarrow{OG\left(t\right)} \begin{cases} x = v_{0x} \times t + x_0\cr \cr y =- \dfrac{1}{2} g \times t² + v_{0y} \times t + y_0\cr \end{cases}}\)
  • Dans le cas du champ électrique précédent : \(\displaystyle{\overrightarrow{OG\left(t\right)} \begin{cases} x = \dfrac{q}{2 m} \times E \times t² + v_{0x} \times t + x_0\cr \cr y = v_{0y} \times t + y_0 \cr \end{cases}}\)

Pour déterminer les coordonnées initiales du vecteur position, on se réfère à la figure :

-
-

En éliminant le temps des équations horaires, on obtient l'équation de la trajectoire.

Équation de la trajectoire

En exprimant la variable t en fonction d'une des deux variables (celle dont l'équation horaire est la plus simple) puis en remplaçant l'expression de t ainsi obtenue dans la deuxième équation horaire, on obtient l'équation de la trajectoire (y(x) plus rarement x(y)) :

  • Dans le cas du champ de pesanteur précédent : \(\displaystyle{t = \dfrac{x-x_o}{v_{0x}} \Rightarrow y =- \dfrac{1}{2} g \times \left(\dfrac{x-x_o}{v_{0x}}\right)^2 + v_{0y} \times \left(\dfrac{x-x_o}{v_{0x}}\right) + y_0}\)
  • Dans le cas du champ électrique précédent : \(\displaystyle{t = \dfrac{y-y_o}{v_{0y}} \Rightarrow x =- \dfrac{q}{2 m} \times E \times \left(\dfrac{y-y_o}{v_{0y}}\right)^2 + v_{0x} \times \left(\dfrac{y-y_o}{v_{0y}}\right) + x_0}\)

Si l'équation de la trajectoire est du type \(\displaystyle{y_{\left(x\right)} = A\times x² + B \times x + C}\), alors la trajectoire du système est une parabole.

IV

La conservation de la quantité de mouvement

A

Énoncé

Conservation de la quantité de mouvement

La quantité de mouvement d'un système isolé ou pseudo-isolé se conserve.

D'après la deuxième loi de Newton :

\(\displaystyle{\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} = \dfrac{d\overrightarrow{p}\left(t\right)}{dt}}\)

Or, pour un système pseudo-isolé, on a :

\(\displaystyle{\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} = \overrightarrow{0}}\)

On a donc :

\(\displaystyle{\dfrac{d\overrightarrow{p}\left(t\right)}{dt} = \overrightarrow{0}}\)

La quantité de mouvement est donc constante au cours du temps.

Pour obtenir un système pseudo-isolé et pouvoir appliquer le principe de conservation de la quantité de mouvement, il faut souvent définir un système à plusieurs corps.

On s'intéresse au décollage d'une fusée. Le système {fusée} n'est pas pseudo-isolé car les gaz éjectés exercent une force dessus Pour appliquer le principe de conservation de l'énergie, il faut choisir comme système {fusée + gaz}.

B

Application : la propulsion par réaction

Propulsion par réaction

La propulsion par réaction est le phénomène par lequel un système est mis en mouvement lors de l'éjection d'une de ses parties.

C'est en éjectant des gaz qu'une fusée peut se propulser.

Le système est propulsé dans la même direction que la partie éjectée mais dans un sens opposé.

On s'intéresse au décollage d'une fusée.
Initialement, la quantité de mouvement du système {fusée + gaz} est égale au vecteur nul puisque sa vitesse est nulle. Les gaz sont ensuite éjectés avec un vitesse orientée vers le bas. La fusée étant pseudo-isolée, le principe de conservation de la quantité de mouvement donne :

\(\displaystyle{\overrightarrow{ p_{final}} = \overrightarrow{ p_{initial}} = \overrightarrow{ 0}}\)

Soit :

\(\displaystyle{m_{gaz} \times \overrightarrow{ v_{gaz}} + m_{fusée} \times \overrightarrow{ v_{fusée}} = \overrightarrow{ 0}}\)

D'où :

\(\displaystyle{\overrightarrow{ v_{fusée}} = - \dfrac{m_{gaz}}{m_{fusée}}\overrightarrow{ v_{gaz}}}\)

-

Propulsion par réaction d'une fusée