La cinématique
La cinématique est l'étude du mouvement d'un corps, indépendamment des causes qui le produisent.
Les outils pour décrire un mouvement
Le système et le référentiel
Avant de commencer à étudier un mouvement, il est indispensable de préciser le système et le référentiel choisis.
Système
Le système est le corps, ou l'ensemble de corps, dont on étudie le mouvement. On le distingue donc du milieu extérieur.
On s'intéresse à une voiture roulant sur une route. Le mouvement ne sera pas décrit de la même manière si l'on choisit comme système la voiture ou ses roues.
Généralement, on note le nom du système entre accolades.
Le système peut être {voiture}.
Concrètement, on étudie uniquement le mouvement du centre d'inertie du système.
Le centre d'inertie d'un système est le point dont le mouvement est le plus simple. Il coïncide avec le centre de gravité du corps et, pour un corps homogène, il correspond aussi à son centre géométrique.
Référentiel
Le référentiel est l'objet par rapport auquel on étudie le mouvement du système. Il est choisi en fonction du type de mouvements à étudier.
| Référentiel terrestre | Lié au sol, adapté pour les mouvements au voisinage de la surface terrestre |
| Référentiel géocentrique | Lié au centre de la Terre, adapté pour les mouvements des satellites, naturels et artificiels |
| Référentiel héliocentrique | Lié au centre du Soleil, adapté pour les mouvements des astres dans le système solaire |
On associe au référentiel :
- Un repère d'espace orthonormé \left( O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right) dont l'origine O est fixée géométriquement dans le référentiel d'étude.
- Un repère de temps dont l'origine est définie par l'instant initial t = 0 \text{ s}.
Le vecteur position
Le vecteur position \overrightarrow{OG} permet de repérer la position du centre de gravité G du système à un instant t dans le repère associé au référentiel.
Vecteur position
Si on note x, y et z les coordonnées du centre de gravité G dans le repère orthonormé \left( O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right), l'expression du vecteur position est :
\overrightarrow{OG} = x_{\left(t\right)}.\overrightarrow{i} +y_{\left(t\right)}.\overrightarrow{j} + z_{\left(t\right)}.\overrightarrow{k}
Le plus souvent, on étudie des mouvements plans, les coordonnées du centre de gravité G sont alors seulement x et y dans un repère orthonormé \left( O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right), l'expression du vecteur position est :
\overrightarrow{OG} = x_{\left(t\right)}.\overrightarrow{i} +y_{\left(t\right)}.\overrightarrow{j}
- Dans la suite du cours, on se limitera à l'étude des mouvements plans dans un repère \left( O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right), on aura donc : \overrightarrow{OG}_{\left(t\right)} = x_{\left(t\right)}.\overrightarrow{i} +y_{\left(t\right)}.\overrightarrow{j} .
- Il arrive aussi fréquemment d'utiliser le repère \left( O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{k} \right), dans ce cas : \overrightarrow{OG}_{\left(t\right)} = x_{\left(t\right)}.\overrightarrow{i} +z_{\left(t\right)}.\overrightarrow{k} .
Pour indiquer les composantes d'un vecteur dans un repère donné, on peut aussi utiliser la mise en forme :
\overrightarrow{OG} \begin{cases} x_{\left(t\right)} \cr \cr y_{\left(t\right)} \end{cases}
Les vecteurs unitaires étant alors éludés.
Les deux notations suivantes sont équivalentes :
\overrightarrow{OG} = \left(v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cdot t\right).\overrightarrow{i} +\left(-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2+v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\cdot t \right).\overrightarrow{j}\\\overrightarrow{OG}\begin{cases} x\left(t\right)=v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cdot t\cr \cr y\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2+v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\cdot t \end{cases}
Le vecteur vitesse
Les variations du vecteur position, en norme ou en direction, sont suivies à l'aide du vecteur vitesse.
La dérivée, par rapport au temps, d'une fonction f_{\left(t\right)} est notée soit \dfrac{df_{\left(t\right)}}{dt}, soit f'_{\left(t\right)} .
Vecteur vitesse
Le vecteur vitesse du centre de gravité G du système à l'instant t, noté \overrightarrow{v_G}\left(t\right) ou \overrightarrow{v}\left(t\right), est la dérivée temporelle du vecteur position. Ainsi, pour un mouvement plan :
\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}=\dfrac{d\overrightarrow{OG_{\left(t\right)}}}{dt}=\dfrac{dx_{\left(t\right)}}{dt}.\overrightarrow{i}+\dfrac{dy_{\left(t\right)}}{dt}.\overrightarrow{j}
Soit :
\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}= v_{x\left(t\right)}. \overrightarrow{i} + v_{y\left(t\right)}. \overrightarrow{j}
v_{x\left(t\right)} = \dfrac{dx_{\left(t\right)}}{dt} et v_{y\left(t\right)} = \dfrac{dy_{\left(t\right)}}{dt} étant alors les composantes (ou coordonnées) du vecteur vitesse.
Soit le vecteur position suivant :
\\\overrightarrow{OG_{\left(t\right)}}\begin{cases} x_{\left(t\right)}=v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cdot t\cr \cr y_{\left(t\right)}=-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2+v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\cdot t \end{cases}
Les composantes du vecteur vitesse du centre de gravité du système s'obtiennent en dérivant celles du vecteur position par rapport au temps :
\\\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}\begin{cases} v_{x\left(t\right)}= \dfrac{dx}{dt} = v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cr \cr v_{y\left(t\right)}=\dfrac{dy}{dt} = - g \cdot t +v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\end{cases}
Le vecteur accélération
Les variations du vecteur vitesse, en norme ou en direction, sont suivies à l'aide du vecteur accélération.
Vecteur accélération
Le vecteur accélération du centre de gravité G du système à un instant t, noté \overrightarrow{a_{G\left(t\right)}} ou \overrightarrow{a_{\left(t\right)}} est la dérivée temporelle de son vecteur vitesse. Ainsi, pour un mouvement plan :
\overrightarrow{a_{\left(t\right)}}=\dfrac{d\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}}{dt}=\dfrac{dv_{x\left(t\right)}}{dt}.\overrightarrow{i}+\dfrac{dv_{y\left(t\right)}}{dt}.\overrightarrow{j}
\overrightarrow{a_{x\left(t\right)}} et \overrightarrow{a_{y\left(t\right)}} étant alors les composantes (ou coordonnées) du vecteur accélération.
Soit le vecteur vitesse suivant :
\\\overrightarrow{v_{\left(t\right)}}\begin{cases} v_{x\left(t\right)} = v_0\cdot\cos\left(\alpha\right)\cr \cr v_{y\left(t\right)} = - g \cdot t +v_0\cdot\sin\left(\alpha\right)\end{cases}
Les composantes du vecteur accélération du centre de gravité du système s'obtiennent en dérivant celles du vecteur vitesse par rapport au temps :
\\\overrightarrow{a_{\left(t\right)}}\begin{cases} a_{x\left(t\right)}= \dfrac{dv_{x}}{dt} = 0\cr \cr a_{y\left(t\right)}=\dfrac{dv_y}{dt} = - g \end{cases}
Le vecteur quantité de mouvement
La quantité de mouvement d'un corps permet de tenir compte de l'effet de sa masse lors de ses mouvements et d'étudier les systèmes constitués de plusieurs corps.
Le vecteur quantité de mouvement possède les caractéristiques suivantes :
- Sa valeur p : p = m \cdot v, qui s'exprime en \text{ kg.m.s}^{-1}.
- Sa direction et son sens, identiques à ceux du vecteur vitesse
Soit une voiture pesant 1,5 tonne et roulant à 36 \text{ km.h}^{-1} (soit 10 \text{ m.s}^{-1} ). La valeur de sa quantité de mouvement est :
p=m\cdot v
p=1{,}5\times 10^3 \times10
p=1{,}5\times 10^4 \text{ kg.m.s}^{-1}
Les différents types de mouvements
Le mouvement rectiligne
Les mouvements rectilignes sont qualifiés différemment en fonction du vecteur accélération :
- Si \overrightarrow{a_{\left(t\right)}} = \overrightarrow{0} , la vitesse est constante et le mouvement est rectiligne uniforme.
- Si \overrightarrow{a_{\left(t\right)}}=\overrightarrow{constante} , le mouvement est rectiligne uniformément varié, le mouvement est accéléré si les vecteurs \overrightarrow{v_{\left(t\right)}} et \overrightarrow{a_{\left(t\right)}} sont de même sens et ralenti si ils sont opposés.
Le mouvement circulaire
Les mouvements circulaires sont qualifiés différemment en fonction des vecteurs vitesse et accélération :
- Si la valeur de la vitesse v est constante, le mouvement est circulaire uniforme.
- Si \overrightarrow{a_{\left(t\right)}}=\overrightarrow{constante} \neq \overrightarrow{0}, le mouvement est circulaire uniformément accéléré.
Le bilan des forces appliquées à un système
Le bilan des forces et la notion de résultante des forces
Effectuer le bilan des forces consiste à répertorier toutes les forces qui s'exercent sur le système.
Un corps qui a été lâché ou lancé depuis une certaine altitude subit la pesanteur terrestre et les frottements exercés par l'air. Le bilan des forces pour ce système comporte donc uniquement ces deux forces.
Résultante des forces
La résultante des forces est la somme vectorielle des forces qui s'exercent sur le système. Globalement, tout se passe comme si elle seule s'exerçait sur le système.
Système isolé et pseudo isolé
En mécanique, les notions de systèmes isolé et pseudo isolé sont très importantes.
Système isolé
Un système est dit isolé si aucune force ne s'exerce sur lui.
Un corps situé dans l'espace et éloigné de tout astre peut être considéré comme un système isolé.
Système pseudo isolé
Un système est dit pseudo isolé si les forces qui s'exercent sur lui se compensent.
Un livre posé sur une table est soumis à son poids et à la réaction normale de la table. Ces deux forces se compensent, le livre est donc un système pseudo isolé.
Pour les systèmes isolés ou pseudo isolés, la résultante des forces extérieures est égale au vecteur nul.
- Parce qu'aucune force ne s'exerce sur un système isolé.
- Parce que les forces qui s'exercent sur un système pseudo isolé se compensent, ce qui signifie que leur somme vectorielle est égale au vecteur nul.
La dynamique : les lois de Newton
La dynamique est l'étude du mouvement d'un système en fonction des forces qui lui sont appliquées.
La 1re loi de Newton : le principe de l'inertie
Newton a énoncé le principe de l'inertie en 1686.
1re loi de Newton ou principe de l'inertie
Tout corps persévère dans son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces extérieures qui s'exercent sur lui se compensent, ou en l'absence de forces extérieures.
Si l'on pousse une balle sur un support pour lequel les frottements sont négligeables, celle-ci sera soumise uniquement à son poids et à la réaction normale du support. Puisque ces deux forces se compensent, le mouvement de la balle sera rectiligne et uniforme.
La notion de référentiel galiléen
Référentiel galiléen
Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel le principe d'inertie est vérifié.
Le référentiel héliocentrique est galiléen. Les référentiels géocentrique et terrestre le sont aussi, mais seulement pour des expériences de courte durée.
Tout référentiel lié à un corps dont le mouvement est rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen est aussi un référentiel galiléen.
Un train est en mouvement rectiligne et uniforme dans le référentiel terrestre. Le référentiel lié à ce train sera donc lui aussi galiléen.
La 2e loi de Newton : la relation fondamentale de la dynamique
2e loi de Newton ou relation fondamentale de la dynamique
Dans un référentiel galiléen, la résultante des forces extérieures appliquées à un système est égale à la dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement du centre d'inertie de ce système :
\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} = \dfrac{d\overrightarrow{p}\left(t\right)}{dt}
Ce qui donne aussi, pour un système dont la masse est constante (ce qui est généralement le cas) :
\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} = m \times \overrightarrow{a}
Si un système est soumis à des forces qui se compensent, on a :
\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} = \overrightarrow{0}
D'où :
\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}
On en déduit que la vitesse d'un système pseudo isolé est constante et donc que son mouvement est rectiligne et uniforme : ce qu'énonce le principe d'inertie.
La 3e loi de Newton : les actions réciproques
3e loi de Newton ou principe des actions réciproques
Si un système A exerce une force \overrightarrow{F_{A/B}} sur un système B, alors le système B exerce une force \overrightarrow{F_{B/A}} sur le système A de même intensité, ayant la même direction mais de sens opposé. Cela se traduit par l'équation vectorielle suivante :
\overrightarrow{F_{A/B}}=-\overrightarrow{F_{B/A}}
Application : le mouvement d'un corps dans un champ uniforme
Dans cette partie, on considère, dans un plan \left(O, x, y\right), un système de masse m, de charge totale q et possédant une vitesse initiale \overrightarrow{v_0}. Le mouvement de ce système dépend du champ uniforme dans lequel il est situé. En terminale, le cours se limite aux champs électrique et de pesanteur.
Champ uniforme
Un champ uniforme est un champ vectoriel qui reste identique en tout point de l'espace considéré.
Le champ de pesanteur est un champ uniforme à proximité de la surface terrestre défini par le vecteur accélération de la pesanteur \overrightarrow{g} dont les caractéristiques sont les suivantes :
- Sa direction est la verticale du lieu considéré.
- Son sens est toujours celui définissant une orientation vers le sol du lieu considéré.
- Sa norme vaut environ 9{,}81 \text{ N.kg}^{-1}.
Le champ électrique \overrightarrow{E} entre deux armatures planes d'un condensateur est un champ uniforme dont les caractéristiques sont les suivantes :
- Sa direction est celle définie par la perpendiculaire aux surfaces des armatures.
- Son sens correspond à l'orientation pointant vers l'armature chargée négativement.
- Sa norme dépend de la différence de potentiel entre les armatures et s'exprime en \text{ V.m}^{-1}.
La 2e loi de Newton permet de relier les actions mécaniques qui agissent sur un système et leur conséquence sur le mouvement de ce système. Elle permet donc de prévoir l'évolution du mouvement d'un système en donnant les équations horaires de son mouvement (x_{\left(t\right)}, y_{\left(t\right)} et z_{\left(t\right)}) et l'équation de sa trajectoire (en deux dimensions et suivant le nom de l'axe vertical y_{\left(x\right)} ou z_{\left(x\right)} ).
Expression du vecteur accélération
Pour un système de masse constante, la 2e loi de Newton donne :
\sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = m \overrightarrow{a}
Soit :
- Si le système est soumis à un champ de pesanteur : \overrightarrow{P} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow m \overrightarrow{g} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}
- Si le système est soumis à un champ électrique : \overrightarrow{F_e} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow q \overrightarrow{E} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \dfrac{q}{m}\overrightarrow{E}
Composantes du vecteur accélération
Les composantes du vecteur accélération dans le repère \left(O x y\right) dépendent alors de celles du champ de pesanteur ou du champ électrique :
- Dans un champ de pesanteur : \overrightarrow{a}\begin{cases} a_x \cr \cr a_y \end{cases} = \overrightarrow{g}\begin{cases} g_x \cr \cr g_y \end{cases}
- Dans un champ électrique : \overrightarrow{a}\begin{cases} a_x \cr \cr a_y \end{cases} = \dfrac{q}{m}\times \overrightarrow{E}\begin{cases} \dfrac{q}{m} \times E_x \cr \cr \dfrac{q}{m} \times E_y \end{cases}
Il faut donc déterminer les composantes des vecteurs \overrightarrow{g} et \overrightarrow{E}, en fonction de leur orientation dans le repère.
Équations horaires
Les équations horaires sont les équations donnant la position du système en fonction du temps. Elles s'obtiennent en intégrant (c'est-à-dire en faisant le contraire de la dérivée) deux fois les équations du mouvement (composantes de l'accélération).
Équations horaires de la vitesse
On obtient les équations horaires de la vitesse du système en intégrant les composantes du vecteur accélération en fonction du temps. Les constantes d'intégration sont alors égales aux composantes du vecteur vitesse initiale \overrightarrow{v_0} du système.
- Dans le cas du champ de pesanteur précédent : \overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = v_{0x} \cr \cr v_{y} =-g \times t + v_{0y} \cr \end{cases}
- Dans le cas du champ électrique précédent : \overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = \dfrac{q}{m} \times E \times t + v_{0x} \cr \cr v_{y} = v_{0y} \cr \end{cases}
Équations horaires de la position
On obtient les équations horaires de la position du système en intégrant les composantes du vecteur vitesse en fonction du temps. Les constantes d'intégration sont alors égales aux composantes du vecteur position initiale \overrightarrow{OG_0} du système.
- Dans le cas du champ de pesanteur précédent : \overrightarrow{OG\left(t\right)} \begin{cases} x = v_{0x} \times t + x_0\cr \cr y =- \dfrac{1}{2} g \times t² + v_{0y} \times t + y_0\cr \end{cases}
- Dans le cas du champ électrique précédent : \overrightarrow{OG\left(t\right)} \begin{cases} x = \dfrac{q}{2 m} \times E \times t² + v_{0x} \times t + x_0\cr \cr y = v_{0y} \times t + y_0 \cr \end{cases}
En éliminant le temps des équations horaires, on obtient l'équation de la trajectoire.
Équation de la trajectoire
En exprimant la variable t en fonction d'une des deux variables (celle dont l'équation horaire est la plus simple) puis en remplaçant l'expression de t ainsi obtenue dans la deuxième équation horaire, on obtient l'équation de la trajectoire ( y_{\left(x\right)} plus rarement x_{\left(y\right)} ) :
- Dans le cas du champ de pesanteur précédent : t = \dfrac{x-x_o}{v_{0x}} \Rightarrow y =- \dfrac{1}{2} g \times \left(\dfrac{x-x_o}{v_{0x}}\right)^2 + v_{0y} \times \left(\dfrac{x-x_o}{v_{0x}}\right) + y_0
- Dans le cas du champ électrique précédent : t = \dfrac{y-y_o}{v_{0y}} \Rightarrow x =- \dfrac{q}{2 m} \times E \times \left(\dfrac{y-y_o}{v_{0y}}\right)^2 + v_{0x} \times \left(\dfrac{y-y_o}{v_{0y}}\right) + x_0
Si l'équation de la trajectoire est du type y_{\left(x\right)} = A\times x² + B \times x + C, alors la trajectoire du système est une parabole.
La conservation de la quantité de mouvement
Énoncé
Conservation de la quantité de mouvement
La quantité de mouvement d'un système isolé ou pseudo isolé se conserve.
D'après la 2e loi de Newton :
\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} = \dfrac{d\overrightarrow{p}\left(t\right)}{dt}
Or, pour un système pseudo isolé, on a :
\sum_{}\overrightarrow{F_{ext}} = \overrightarrow{0}
On a donc :
\dfrac{d\overrightarrow{p}\left(t\right)}{dt} = \overrightarrow{0}
La quantité de mouvement est donc constante au cours du temps.
Pour obtenir un système pseudo isolé et pouvoir appliquer le principe de conservation de la quantité de mouvement, il faut souvent définir un système à plusieurs corps.
On s'intéresse au décollage d'une fusée. Le système {fusée} n'est pas pseudo isolé car les gaz éjectés exercent une force dessus. Pour appliquer le principe de conservation de l'énergie, il faut choisir comme système {fusée + gaz}.
Application : la propulsion par réaction
Propulsion par réaction
La propulsion par réaction est le phénomène par lequel un système est mis en mouvement lors de l'éjection d'une de ses parties.
C'est en éjectant des gaz qu'une fusée peut se propulser.
Le système est propulsé dans la même direction que la partie éjectée mais dans un sens opposé.
On s'intéresse au décollage d'une fusée.
Initialement, la quantité de mouvement du système {fusée + gaz} est égale au vecteur nul puisque sa vitesse est nulle. Les gaz sont ensuite éjectés avec une vitesse orientée vers le bas. La fusée étant pseudo isolée, le principe de conservation de la quantité de mouvement donne :
\overrightarrow{ p_{final}} = \overrightarrow{ p_{initial}} = \overrightarrow{ 0}
Soit :
m_{gaz} \times \overrightarrow{ v_{gaz}} + m_{fusée} \times \overrightarrow{ v_{fusée}} = \overrightarrow{ 0}
D'où :
\overrightarrow{ v_{fusée}} = - \dfrac{m_{gaz}}{m_{fusée}}\overrightarrow{ v_{gaz}}
