Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération à partir de la position Méthode

Sommaire

1Relever les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)} 2Déterminer les composantes du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} par dérivation 3Déterminer les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)} par dérivation

Les composantes des vecteurs vitesse et accélération se déduisent des composantes du vecteur position par dérivations successives.

Un mobile suit une trajectoire décrite par l'équation horaire \overrightarrow{OM}\left(t\right)=\left(25t\right)\overrightarrow{i}+\left(-5t^2+15t+3\right)\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}. En déduire les composantes des vecteurs vitesse et accélération.

Etape 1

Relever les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)}

On relève les composantes \left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right) du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)}.

Les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)} sont :

  • x\left(t\right)=25t
  • y\left(t\right)=-5t^2+15t+3
  • z\left(t\right)=1
Etape 2

Déterminer les composantes du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} par dérivation

On détermine les composantes \left(v_{M_x}\left(t\right),v_{M_y}\left(t\right),v_{M_z}\left(t\right)\right) du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} en dérivant les composantes du vecteur position par rapport au temps.

On sait que :

\overrightarrow{v_M\left(t\right)}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}

On détermine donc les composantes du vecteur vitesse :

  • v_x\left(t\right)=\dfrac{dx}{dt}=25
  • v_y\left(t\right)=\dfrac{dy}{dt}=-10t+15
  • v_z\left(t\right)=\dfrac{dz}{dt}=0
Etape 3

Déterminer les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)} par dérivation

On détermine les composantes \left(a_{M_x}\left(t\right),a_{M_y}\left(t\right),a_{M_z}\left(t\right)\right) du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)} en dérivant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps.

De plus, on sait que :

\overrightarrow{a_M\left(t\right)}=\dfrac{d\overrightarrow{v_M}}{dt}

On obtient donc les composantes du vecteur accélération :

  • a_x\left(t\right)=\dfrac{dv_x}{dt}=0
  • a_y\left(t\right)=\dfrac{dv_y}{dt}=-10
  • a_z\left(t\right)=\dfrac{dv_z}{dt}=0