Soit un objet lâché sans vitesse initiale d'une hauteur h. L'objet est alors animé d'un mouvement uniformément varié d'accélération :
\overrightarrow{a}=-g\overrightarrow{k}
Quelle est l'expression du vecteur vitesse de l'objet au cours de son mouvement ?
On a :
a_x=0, a_y=0 et a_z=-g
Or :
a_x=\dfrac{d v_x}{dt}, a_y=\dfrac{d v_y}{dt} et a_z=\dfrac{d v_z}{dt}
D'où par recherche des primitives :
v_x\left(t\right)=C_1, v_y\left(t\right)=C_2 et v_z\left(t\right)=-gt+C_3
On sait que la vitesse à l'instant initial t=0 est nulle et ainsi on va déterminer les constantes :
v_x\left(0\right)=0=C_1, v_y\left(0\right)=0=C_2 et v_z\left(0\right)=0=-g\times 0+C_3
D'où :
C_1=0, C_2=0 et C_3=0
Donc :
v_x\left(t\right)=0, v_y\left(t\right)=0 et v_z\left(t\right)=-gt
Les composantes de la vitesse sont : v_x\left(t\right)=0, v_y\left(t\right)=0 et v_z\left(t\right)=-gt.
Quelles sont les expressions horaires de la position de l'objet ?
On a :
v_x=0, v_y=0 et v_z=-gt
Or :
v_x=\dfrac{d x}{dt}, v_y=\dfrac{d y}{dt} et v_z=\dfrac{d z}{dt}
D'où par recherche des primitives :
x\left(t\right)=D_1, y\left(t\right)=D_2 et z\left(t\right)=-g\dfrac{t^2}{2}+D_3
On choisit de prendre l'origine des z au sol, l'objet placé à la verticale de O, on a alors la position à l'instant initial t=0 qui vaut z=h. On détermine ainsi les constantes :
x\left(0\right)=0=D_1, y\left(0\right)=0=D_2 et z\left(0\right)=h=-g\times \dfrac{0^2}{2}+D_3
D'où :
D_1=0, D_2=0 et D_3=h
Donc :
x\left(t\right)=0, y\left(t\right)=0 et z\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}gt^2+h
Les équations horaires de la position sont : x\left(t\right)=0, y\left(t\right)=0 et z\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}gt^2+h.