Montrer que trois points sont alignés en utilisant une égalité vectorielle Exercice

D'après la relation de Chasles, on a :

\overrightarrow{FD} = \overrightarrow{FA} + \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}

Or, on sait que :

\overrightarrow{AF} =\dfrac{3}{4} \overrightarrow{AC}

Et que :

\overrightarrow{BD} =\dfrac{1}{4} \overrightarrow{BC}

Donc :

\overrightarrow{FD} = -\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AC}- \overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}

Finalement :

D'après la relation de Chasles, on a :

\overrightarrow{FE} = \overrightarrow{FA}+ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}

Or, on sait que :

• \overrightarrow{AF} =\dfrac{3}{4} \overrightarrow{AC}
• \overrightarrow{BE} =-2 \overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}

Par conséquent :

\overrightarrow{FE} =-\dfrac{3}{4} \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} +3\overrightarrow{AB}

Or, d'après la relation de Chasles :

\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{CB}

On en déduit que :

\overrightarrow{FE} =-\dfrac{3}{4} \overrightarrow{AC}+ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}+-2\overrightarrow{AC} +3\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{CB}

\overrightarrow{FE} =\left(2-\dfrac{3}{4}\right) \overrightarrow{AC}+ 4\overrightarrow{CB}

Finalement :

D'après les questions précédentes, on sait que :

• \overrightarrow{FD} =\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}
• \overrightarrow{FE} =\dfrac{5}{4} \overrightarrow{AC}-4\overrightarrow{BC}

Or :

• \dfrac{\dfrac{5}{4}}{\dfrac{1}{4}} =\dfrac{4\times5}{4}=5
• \dfrac{-4}{-\dfrac{3}{4}}=\dfrac{4\times4}{3}=\dfrac{16}{3}

Donc : \dfrac{\dfrac{5}{4}}{\dfrac{1}{4}} \neq \dfrac{-4}{-\dfrac{3}{4}}

D'après le cours on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u}= k \overrightarrow{v}.

On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{FD} et \overrightarrow{FE} ne sont pas colinéaires.