On considère un triangle ABC et les point D et E tels que :
\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC} et \overrightarrow{BE} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}
Représenter cette configuration sur une figure.
Exprimer le vecteur \overrightarrow{AE} en fonction des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}
Or, on sait que :
\overrightarrow{BE} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{BC}
Par conséquent :
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}
Or, d'après la relation de Chasles :
\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}
On en déduit donc que :
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)
Soit :
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}
Or :
\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}
Finalement :
\overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}
Montrer que les points A, E et D sont alignés.
D'après les questions précédentes, on sait que :
- \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} +2\overrightarrow{AC}
- \overrightarrow{AE} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}
On en déduit que :
\overrightarrow{AE}= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}
Or, d'après le cours on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u}= k \overrightarrow{v}.
On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{AE} et \overrightarrow{AD} sont colinéaires et donc que les droites \left( AD \right) et \left( AE \right) sont parallèles.
Ces 2 droites possédant un point en commun, elles sont confondues.
On peut donc conclure :
Les points A, E et D sont alignés.