On considère le parallélogramme ABCD quelconque et les points E et F tels que :
\overrightarrow{CE} =\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD} et \overrightarrow{AF}= \dfrac{3}{2} \overrightarrow{AE}
Représenter cette configuration sur une figure.
Exprimer le vecteur \overrightarrow{BF} en fonction du vecteur \overrightarrow{BC}.
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF}
Or, on sait que :
\overrightarrow{AF} =\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AE}
Donc :
\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} +\dfrac{3}{2} \overrightarrow{AE}
Or, d'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}
On en déduit que :
\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} +\dfrac{3}{2} \left( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}\right)
\Leftrightarrow\overrightarrow{BF} =- \overrightarrow{AB} +\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CE}
\Leftrightarrow\overrightarrow{BF} =\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CE}
Or, d'après l'énoncé :
\overrightarrow{CE} =\dfrac{1}{3} \overrightarrow{CD}
L'égalité devient ainsi :
\overrightarrow{BF} =\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}{2}\times\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CD}
\overrightarrow{BF} =\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CD}
Enfin, comme ABCD est un parallélogramme, on a :
\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}
D'où :
\overrightarrow{BF} =\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}
Finalement :
\overrightarrow{BF} = \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC}
Montrer que les points B, C et F sont alignés.
D'après les questions précédentes, on sait que :
\overrightarrow{BF} =\dfrac{3}{2} \overrightarrow{BC}
Or, d'après le cours on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u}= k \overrightarrow{v}.
On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{BF} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires. Donc les droites \left( BC \right) et \left( BF \right) sont parallèles.
Ayant un point en commun, ces deux droites sont confondues.
On peut donc conclure :
Les points B, C et F sont alignés.