Montrer que trois points sont alignés en utilisant une égalité vectorielle Exercice

D'après la relation de Chasles, on a :

\overrightarrow{DF} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BF}

Or, on sait que :

\overrightarrow{AD} =\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AC}

Et :

\overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{8}\overrightarrow{CB}

Donc, d'après la relation de Chasles :

\overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{8}\left(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB}\right)

Par conséquent :

\overrightarrow{DF} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} +\dfrac{1}{8}\left(\overrightarrow{CA}+ \overrightarrow{AB}\right)

Soit :

\overrightarrow{DF} = \dfrac{3}{8}\overrightarrow{CA}+ \dfrac{9}{8} \overrightarrow{AB}

Or :

\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}

Finalement :

D'après la relation de Chasles, on a :

\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE}

Or, on sait que :

\overrightarrow{DA} = - \overrightarrow{AD} =- \dfrac{1}{4} \overrightarrow{AC}

Et que :

\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{4} \overrightarrow{AB}

Finalement :

D'après les questions précédentes, on sait que :

• \overrightarrow{DF} =- \dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}+ \dfrac{9}{8} \overrightarrow{AB}
• \overrightarrow{DE} = -\dfrac{1}{4} \overrightarrow{AC} +\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}

On en déduit que :

\overrightarrow{DF}= \dfrac{3}{2}\overrightarrow{DE}

Or, d'après le cours on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u}= k \overrightarrow{v}.

On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{DF} et \overrightarrow{DE} sont colinéaires et donc que les droites \left( DF \right) et \left( DE \right) sont parallèles.

Ces 2 droites possédant un point en commun, elles sont confondues.

On peut donc conclure :