On considère les égalités vectorielles suivantes :
\overrightarrow{AB} =2 \overrightarrow{AE}+ \overrightarrow{AD} et \overrightarrow{EC} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{ED}
Exprimer le vecteur \overrightarrow{AC} en fonction des vecteurs \overrightarrow{AE} et \overrightarrow{ED}.
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EC}
Or, on sait que :
\overrightarrow{EC} =\dfrac{1}{3} \overrightarrow{ED}
On en déduit que :
\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{ED}
Exprimer le vecteur \overrightarrow{AB} en fonction des vecteurs \overrightarrow{AE} et \overrightarrow{ED}.
On sait que :
\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AD}
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{ED}
On en déduit que :
\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AE} +\overrightarrow{ED}
Finalement :
\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AE} +\overrightarrow{ED}
Montrer que les points A, B et C sont alignés.
D'après les questions précédentes, on sait que :
- \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AE} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{ED}
- \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AE} +\overrightarrow{ED}
On en déduit que :
\overrightarrow{AB}= 3\overrightarrow{AC}
Or, d'après le cours on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u}= k \overrightarrow{v}.
On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} sont colinéaires. Donc les droites \left( AB \right) et \left( AC \right) sont parallèles.
Ayant un point en commun, ces deux droites sont confondues.
On peut alors conclure :
Les points A, B et C sont alignés.