Les lois à densitéCours

I

La densité de probabilité

Loi de probabilité continue et densité de probabilité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I = \left[a ; b \right], positive et continue sur I, telle que :
\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = 1
Alors, en posant pour tout réel c de I :

p\left(X\in\left[a ; c\right]\right) =\int_{a}^{c}f\left(t\right) \ \mathrm dt

On définit une loi de probabilité continue sur I. La fonction f est une densité de probabilité de cette loi.

Considérons la fonction f définie pour tout réel x de \left[0;2\right] par f\left(x\right)=\dfrac{x}{2}. f est continue et positive sur \left[0;2\right].
De plus, une primitive de f est la fonction F définie pour tout réel x de \left[0;2\right] par F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}. On a donc :

\int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(0\right)=\dfrac44-0=1

f est donc une densité de probabilités sur \left[0;2\right].

Pour tout réel c de \left[0;2\right], on définit la loi de probabilité :

p\left(X\in\left[0;c\right]\right)=\int_{0}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Soient a et b deux réels tels que a\leqslant b :

p\left(X \in \left[a ; b\right]\right) = p\left(a \leq X \leq b\right)

Soient a et b deux réels tels que a\leqslant b :

  • p\left(X\in\left[a ; b\right]\right) = p\left(X\in\left[a ; b\right[\right) = p\left(X\in\left]a ; b\right]\right) = p\left(X\in\left]a ; b\right[\right)
  • p\left(X\in\left[a ; a\right]\right) =p\left(X=a\right)= 0

P\left(a \leq X \leq b\right) = P\left(X \leq b\right) - P\left(X \leq a\right)

P\left(X \leq a\right) + P\left(X \gt a\right)=1

II

La loi uniforme sur \left[a ; b\right]

Loi uniforme

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[a ; b\right] (a \lt b) si et seulement si elle admet pour densité la fonction f définie sur \left[a ; b\right] par :

f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a}

Si X suit une loi uniforme sur l'intervalle \left[4;6\right], alors sa fonction de densité est la fonction f définie pour tout réel x de \left[4;6\right] par :

f\left(x\right)=\dfrac{1}{6-4}=\dfrac12

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[a ; b\right], alors pour tous réels c et d tels que a \leq c \leq d \leq b :

p\left(c \leq X \leq d\right) = \dfrac{d-c}{b-a}

X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[2 ; 5\right]. On a alors :

p\left(3\leq X \leq 4\right) = \dfrac{4-3}{5-2}=\dfrac13

La valeur de p\left(X\in\left[c ; d\right]\right) est égale à l'aire de la surface comprise entre la droite d'équation y = \dfrac{1}{b-a}, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = c et x = d.

-

Espérance d'une loi uniforme

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[a ; b\right], son espérance est alors égale à :

E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}

X suit la loi uniforme sur l'intervalle \left[2 ; 5\right]. On a alors :

E\left(X\right)=\dfrac{2+5}{2}=\dfrac72

III

La loi normale centrée réduite

Loi normale centrée réduite

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite notée \mathcal{N}\left(0;1\right) si elle admet pour densité la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}

La valeur de p\left(X \leq a\right) est égale à l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation y = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}, l'axe des abscisses et la droite d'équation x = a.

-

Si X suit la loi normale centrée réduite :

p\left( -1,96\leqslant X\leqslant1,96 \right)\approx 0,95

Espérance d'une loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, son espérance est :

E\left(X\right) = 0

De façon similaire à ce que l'on voit en statistiques discrètes, on peut définir la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire continue par :

V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2

\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}

Variance d'une loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, sa variance vaut :

V\left(X\right) = 1

Si X suit la loi normale centrée réduite, l'écart-type de X noté \sigma\left(X\right) vaut 1.

IV

La loi normale générale

Loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)

Une variable aléatoire X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right) (\mu \in \mathbb{R}, \sigma \in \mathbb{R}^{+*}) si et seulement si la variable aléatoire \dfrac{X-\mu}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.

Espérance d'une loi normale

Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), son espérance vaut :

E\left(X\right) = \mu

Variance d'une loi normale

Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), sa variance vaut :

V\left(X\right) = \sigma^2

Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), son écart-type vaut \sigma.

-

On observe que plus \sigma augmente, plus la courbe de la densité de la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right) est "aplatie". De plus, cette courbe est centrée sur la moyenne, c'est-à-dire la droite d'équation x=\mu.

Si \mu=0 et \sigma=1, on retrouve la courbe de Gauss normalisée, soit la loi normale centrée réduite.

Valeurs remarquables de la loi normale

Si X suit la loi normale \mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right), on a les valeurs remarquables suivantes :

p\left(\mu - \sigma \leq X \leq\mu + \sigma\right) \approx 0,683

p\left(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\right) \approx 0,954

p\left(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma\right) \approx 0,997