Passer d'une loi normale générale à la loi normale centrée réduiteMéthode

Dans le calcul d'une probabilité, lorsque la variable aléatoire X suit une loi normale, on peut se rapporter au calcul d'une loi normale centrée réduite.

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi normale N\left(50;9\right). Exprimer p\left(46 \leq X \leq 58\right) en fonction d'une probabilité de la loi normale centrée réduite.

Etape 1

Identifier m et \sigma

On donne les paramètres de la loi normale que suit X.

Si X suit la loi N\left(m; \sigma ^2\right), alors E\left(X\right) = m et \sigma \left(X\right) = \sigma.

X suit la loi normale N\left(50;9\right).

On a donc :

m = 50 et \sigma = \sqrt 9 = 3

Etape 2

Réciter le cours

On rappelle que si X suit une loi normale N\left(m; \sigma^2\right), alors la variable Z = \dfrac{X-m}{\sigma} suit la loi normale centrée réduite.

X suit la loi normale N\left(50;9\right) donc Z = \dfrac{X-m }{\sigma} = \dfrac{X-50}{3} suit la loi normale centrée réduite.

Etape 3

Faire apparaître la loi normale centrée réduite

Si on cherche par exemple à calculer p\left(a \leq X \leq b\right), on écrit que :

p\left(a \leq X \leq b\right)= p \left(\dfrac{a-m}{\sigma} \leq \dfrac{X-m}{\sigma} \leq \dfrac{b-m}{\sigma}\right)

On obtient :

p\left(a \leq X \leq b\right) =p \left(\dfrac{a-m}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b-m}{\sigma}\right), avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.

Donc :

p\left(46 \leq X \leq 58\right)= p \left(\dfrac{46-50}{3} \leq \dfrac{X-50}{3} \leq \dfrac{58-50}{3}\right)

p\left(46 \leq X \leq 58\right)= p \left(-\dfrac{4}{3} \leq Z\leq \dfrac{8}{3}\right)

Avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.