On considère la fonction f définie sur \left[ 1;e \right] par :
\forall x\in\left[ 1;e \right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x}
f est-elle une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Ici, on a :
x\longmapsto \dfrac{1}{x} est continue sur \left] 0;+\infty \right[ donc continue sur \left[ 1;e \right]
x\longmapsto \dfrac{1}{x} est positive sur \left] 0;+\infty \right[ donc positive sur \left[ 1;e \right]
Une primitive de x\longmapsto \dfrac{1}{x} sur \left] 0;+\infty \right[ est x\longmapsto \ln\left(x\right) donc :
\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx=\left[ \ln\left(x\right) \right]_{1}^{e}=\ln\left(e\right)-\ln\left(1\right)=1
f est bien une densité de probabilité.
On considère la fonction f définie sur \left[ 0;\sqrt{2} \right] par :
\forall x\in\left[ 0; \sqrt{2}\right], f\left(x\right)=x
f est-elle une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Ici, on a :
x\longmapsto x est continue sur \mathbb{R} donc continue sur \left[ 0;\sqrt{2} \right]
x\longmapsto x est positive sur \left[ 0;+\infty \right[ donc positive sur \left[ 0;\sqrt{2} \right]
Une primitive de x\longmapsto x sur \left[ 0;+\infty \right[ est x\longmapsto \dfrac{x^2}{2} donc :
\int_{0}^{\sqrt{2}} x \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{0}^{\sqrt{2}}=\dfrac{2}{2}-0=1
f est bien une densité de probabilité.
On considère la fonction f définie sur \left[ 0;\sqrt[3]{3}\right] par :
\forall x\in\left[ 0;\sqrt[3]{3}\right], f\left(x\right)=x^2
f est-elle une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Ici, on a :
x\longmapsto x^2 est continue sur \mathbb{R} donc continue sur \left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]
x\longmapsto x^2 est positive sur \left[ 0;+\infty \right[ donc positive sur \left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]
Une primitive de x\longmapsto x^2 sur \left[ 0;+\infty \right[ est x\longmapsto \dfrac{x^3}{3} donc :
\int_{0}^{\sqrt[3]{3}} x^2 \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt[3]{3}}=\dfrac{3}{3}-0=1
f est bien une densité de probabilité.
On considère la fonction f définie sur \left[ 0;1\right] par :
\forall x\in\left[ 0;1\right], f\left(x\right)=e^x
f est-elle une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Ici, on a :
x\longmapsto e^x est continue sur \mathbb{R} donc continue sur \left[ 0;1\right]
x\longmapsto e^x est positive sur \mathbb{R} donc positive sur \left[ 0;1\right]
Une primitive de x\longmapsto e^x sur \mathbb{R} est x\longmapsto e^x donc :
\int_{0}^{1} e^x \ \mathrm dx=\left[ e^x \right]_{0}^{1}=e-1\neq1
f n'est pas une densité de probabilité.
On considère la fonction f définie sur \left[ 0;\ln\left(2\right)\right] par :
\forall x\in\left[ 0;\ln\left(2\right)\right], f\left(x\right)=e^x
f est-elle une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Ici, on a :
x\longmapsto e^x est continue sur \mathbb{R} donc continue sur \left[ 0;\ln\left(2\right)\right]
x\longmapsto e^x est positive sur \mathbb{R} donc positive sur \left[ 0;\ln\left(2\right)\right]
Une primitive de x\longmapsto e^x sur \mathbb{R} est x\longmapsto e^x donc :
\int_{0}^{\ln\left(2\right)} e^x \ \mathrm dx=\left[ e^x \right]_{0}^{\ln\left(2\right)}=e^\text{ln(2)}-1=2-1=1
f est bien une densité de probabilité.
On considère la fonction f définie sur \left[ \dfrac{1}{2};1\right] par :
\forall x\in\left[ \dfrac{1}{2};1\right], f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2}
f est-elle une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Ici, on a :
x\longmapsto \dfrac{1}{x^2} est continue sur \left] 0;+\infty \right[ donc continue sur \left[ \dfrac{1}{2};1\right]
x\longmapsto \dfrac{1}{x^2} est positive sur \left] 0;+\infty \right[ donc positive sur \left[ \dfrac{1}{2};1\right]
Une primitive de x\longmapsto \dfrac{1}{x^2} sur \left] 0;+\infty \right[ est x\longmapsto \dfrac{-1}{x} donc :
\int_\text{0{,}5}^{1} \dfrac{1}{x^2} \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{-1}{x} \right]_{\text{0{,}5}}^{1}=-1+2=1
f est bien une densité de probabilité.
On considère la fonction f définie sur \left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right] par :
\forall x\in\left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right], f\left(x\right)=\sin\left(x\right)
f est-elle une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Ici, on a :
x\longmapsto \sin\left(x\right) est continue sur \mathbb{R} donc continue sur \left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]
x\longmapsto \sin\left(x\right) est positive sur \left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]
Une primitive de x\longmapsto \sin\left(x\right) sur \mathbb{R} est x\longmapsto -\cos\left(x\right) donc :
\int_\text{0}^{\pi/2} \sin\left(x\right) \ \mathrm dx=\left[ -\cos\left(x\right) \right]_{\text{0}}^{\pi/2}=0+1=1
f est bien une densité de probabilité.