Montrer qu'une fonction est une densité de probabilité Exercice

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[1; e\right]}\) et continue sur \(\displaystyle{\left[1; e\right]}\)
• \(\displaystyle{\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx=\left[ lnx \right]_{1}^{e}=lne-ln1=1}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[1; e\right]}\) et continue sur \(\displaystyle{\left[1; e\right]}\)
• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[1;e\right]}\)

• \(\displaystyle{\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx=\left[ lnx \right]_{1}^{e}=lne-ln1=1}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[1;e\right]}\)

• \(\displaystyle{\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x} \ \mathrm dx=\left[ lnx \right]_{1}^{e}=lne-ln1=1}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[1; e\right]}\) et continue sur \(\displaystyle{\left[1; e\right]}\)
• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[1;e\right]}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[0; \sqrt{2}\right]}\)
• \(\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{2}}x \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{2}^{2}-\dfrac{1}{2}\times0=1}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[0; \sqrt{2}\right]}\)
• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[0;\sqrt{2}\right]}\)

• \(\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{2}}x \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{2}^{2}-\dfrac{1}{2}\times0=1}\)

\(\displaystyle{f}\) n'est pas une densité de probabilité car \(\displaystyle{f}\) n'est pas continue sur \(\displaystyle{\left[0;\sqrt{2}\right]}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[0;\sqrt{2}\right]}\)

• \(\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt{2}}x \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{2}^{2}-\dfrac{1}{2}\times0=1}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]}\)

• \(\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt[3]{2}}x^2 \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{1}{3}\times\left(\sqrt[3]{2}\right)^{3}-\dfrac{1}{3}\times0=1}\)

\(\displaystyle{f}\) n'est pas une densité de probabilité sur \(\displaystyle{\left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]}\) car \(\displaystyle{f}\) n'est pas continue sur \(\displaystyle{\left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]}\)
• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]}\)

• \(\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt[3]{2}}x^2 \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{1}{3}\times\left(\sqrt[3]{2}\right)^{3}-\dfrac{1}{3}\times0=1}\)

\(\displaystyle{f}\) n'est pas une densité de probabilité sur \(\displaystyle{\left[ 0;\sqrt[3]{3}\right]}\) car \(\displaystyle{\int_{0}^{\sqrt[3]{2}}x^2 \ \mathrm dx\neq1}\)

\(\displaystyle{f}\) n'est pas une densité de probabilité sur \(\displaystyle{\left[0;1\right]}\) car \(\displaystyle{f}\) n'est pas continue sur \(\displaystyle{\left[0;1\right]}\).

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[ 0;1\right]}\)
• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[ 0;1\right]}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[0;1\right]}\).

\(\displaystyle{f}\) n'est pas une densité de probabilité car \(\displaystyle{\int_{1}^{1}e^{x} \ \mathrm dx\neq1}\)

\(\displaystyle{f}\) n'est pas une densité de probabilité sur \(\displaystyle{\left[0;ln2\right]}\) car \(\displaystyle{\int_{0}^{ln2} f\left(x\right) \ \mathrm dx\neq1}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[0;ln2\right]}\)
• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[0;ln2\right]}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[0;ln2\right]}\)
• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[0;ln2\right]}\)
• \(\displaystyle{\int_{0}^{ln2} e^x \ \mathrm dx=\left[ e^x \right]_{0}^{ln2}=e^{ln2}-e^0=2-1=1}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[0;ln2\right]}\)
• \(\displaystyle{\int_{0}^{ln2} e^x \ \mathrm dx=\left[ e^x \right]_{0}^{ln2}=e^{ln2}-e^0=2-1=1}\)

\(\displaystyle{f}\) n'est pas une densité de probabilité sur \(\displaystyle{\left[\dfrac{1}{2};1\right]}\) car \(\displaystyle{f}\) n'est pas continue sur \(\displaystyle{\left[\dfrac{1}{2};1\right]}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[\dfrac{1}{2};1 \right]}\)
• \(\displaystyle{\int_{\frac{1}{2}}^{1} \dfrac{1}{x^2} \ \mathrm dx=\left[ -\dfrac{1}{x} \right]_{\frac{1}{2}}^{1}=-1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1+2=1}\)

\(\displaystyle{f}\) n'est pas une densité de probabilité sur \(\displaystyle{\left[\dfrac{1}{2};1\right]}\) car \(\displaystyle{\int_{\frac{1}{2}}^{1} f\left(x\right) \ \mathrm dx\neq1}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[\dfrac{1}{2};1 \right]}\)
• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[\dfrac{1}{2};1 \right]}\)
• \(\displaystyle{\int_{\frac{1}{2}}^{1} \dfrac{1}{x^2} \ \mathrm dx=\left[ -\dfrac{1}{x} \right]_{\frac{1}{2}}^{1}=-1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=-1+2=1}\)

\(\displaystyle{f}\) n'est pas une densité de probabilité sur \(\displaystyle{\left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]}\) car \(\displaystyle{f}\) n'est pas continue sur \(\displaystyle{\left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]}\)
• \(\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinx\ \mathrm dx=\left[-cosx \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+cos0=0+1=1}\)

\(\displaystyle{f}\) est une densité de probabilité car:

• \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{\left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]}\)
• \(\displaystyle{f}\) est positive sur \(\displaystyle{\left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]}\)
• \(\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinx\ \mathrm dx=\left[-cosx \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=-\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+cos0=0+1=1}\)

\(\displaystyle{f}\) n'est pas une densité de probabilité sur \(\displaystyle{\left[ 0;\dfrac{\pi}{2}\right]}\) car \(\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sinx\ \mathrm dx\neq1}\)