Déterminer un des paramètres d'une loi normaleMéthode

Afin de déterminer un paramètre manquant d'une loi normale dont on connaît une probabilité, il faut passer à la loi normale centrée réduite et s'aider de la calculatrice.

On considère la variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne m et d'écart-type \sigma = 2.

Sachant que p\left(X \leq 5\right) = 0{,}4, déterminer m.

Etape 1

Écrire la probabilité donnée dans l'énoncé

On écrit la probabilité donnée dans l'énoncé, par exemple p\left(X\leq a\right) = b.

On a :

p\left(X \leq 5\right) = 0{,}4

Etape 2

Passer à la loi normale centrée réduite

On passe à la loi normale centrée réduite, en posant la variable Z = \dfrac{X-m}{\sigma}.

Ainsi p\left(X\leq a\right) = b devient p\left(\dfrac{X-m}{\sigma}\leq \dfrac{a-m}{\sigma}\right) = b.

On passe à la loi normale centrée réduite, en posant la variable Z = \dfrac{X-m}{\sigma}.

p\left(X \leq 5\right) = 0{,}4

\Leftrightarrow p\left(\dfrac{X-m}{\sigma}\leq \dfrac{5-m}{\sigma}\right) =0{,}4

On sait ici que \sigma = 2. On en déduit que :

p\left(Z\leq \dfrac{5-m}{2}\right) =0{,}4

Etape 3

Trouver l'inconnue à l'aide de la calculatrice

Avec la calculatrice, on utilise la touche invN (ou invNorm sur des anciens modèles) sur Casio ou FracNormale sur Ti.

On détermine ainsi la valeur de \dfrac{a-m}{\sigma}.

  • Sur Casio, on utilise invN avec area=0.4, \mu=0 et \sigma=1
  • Sur TI, on utilise FracNormale\left(0.4\ ,0\ ,1\right)

On obtient :

\dfrac{5-m}{2} \approx -0{,}253

Etape 4

Résoudre pour déterminer le paramètre manquant

On résout l'équation obtenue, dont l'inconnue est soit m soit \sigma.

On conclut en donnant la valeur du paramètre recherché.

On en déduit que :

5 - m \approx -0{,}253 \times 2

On en conclut que :

m \approx 5{,}506