Reconnaître une fonction densité de probabilitéMéthode

La fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I=\left[ a;b \right] si et seulement si f est continue et positive ou nulle sur I, et si \int_a^bf\left(x\right) dx= 1.

Montrer que la fonction f, définie sur \left[ 0;1 \right] par f\left(x\right) = 2x est une densité de probabilité.

Etape 1

Rappeler les conditions

On rappelle que la fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I=\left[ a;b \right] si et seulement si :

  • f est continue sur I
  • f est positive ou nulle sur I
  • \int_a^bf\left(x\right) dx= 1

La fonction f est une densité de probabilité sur \left[ 0;1 \right] si et seulement si :

  • f est continue sur \left[ 0;1 \right]
  • f est positive ou nulle sur \left[ 0;1 \right]
  • \int_0^1f\left(x\right) dx= 1
Etape 2

Justifier que f est continue

On justifie que la fonction f est continue sur l'intervalle I = \left[ a;b \right] sur lequel elle est définie.

La fonction f est continue sur \left[ 0;1 \right] en tant que restriction d'une fonction affine sur \left[ 0;1 \right].

Etape 3

Justifier que f est positive

On démontre que, \forall x \in I, f\left(x\right) \geq 0.

\forall x \in \left[ 0;1 \right], 2x \geq 0.

Donc la fonction f est positive ou nulle sur \left[ 0;1 \right].

Etape 4

Calculer l'intégrale

On calcule \int_a^bf\left(x\right) dx.

On vérifie que cette intégrale vaut 1.

Si I = \left[ 0;+\infty \right[, on ne sait pas calculer \int_0^{+\infty}f\left(t\right) dt, on calcule donc \int_0^{x}f\left(t\right) dt et on montre que \lim\limits_{x \to +\infty }\int_0^{x}f\left(t\right) dt = 1.

\int_0^1f\left(x\right) dx= \int_0^12x dx

Ainsi :

\int_0^1f\left(x\right) dx= \left[ x^2 \right]_0^1

\int_0^1f\left(x\right) dx=1^2-0^2

\int_0^1f\left(x\right) dx=1

Etape 5

Conclure

Si la fonction f vérifie bien ces trois conditions, f est donc une densité de probabilité sur I = \left[ a;b \right].

Les trois conditions sont bien vérifiées. La fonction f est donc une densité de probabilité sur \left[ 0;1\right].