Soient k un réel et f la fonction définie pour tout x de \left[ -1;1 \right] par :
f\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}x+k
Quelle est la valeur de k qui fait de f une densité de probabilité ?
Une fonction f définie sur \left[ a;b \right] est une densité de probabilité si et seulement si :
- f est continue sur \left[ a;b \right]
- f est positive sur \left[ a;b \right]
- \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=1
Continuité de f
x\longmapsto -\dfrac{1}{2}x+k est continue sur \left[ -1;1 \right] quelle que soit la valeur de k.
Valeur de l'intégrale
Une primitive de x\longmapsto -\dfrac{1}{2}x+k sur \left[ -1;1 \right] est x \longmapsto -\dfrac{x^2}{4}+kx.
Ainsi, on obtient :
\int_{-1}^{1} f\left( x\right) \ \mathrm dx=\int_{-1}^{1} \left( -\dfrac{1}{2}x+k\right) \ \mathrm dx=\left[ -\dfrac{x^2}{4}+kx \right]_{-1}^{1}
\int_{-1}^{1} f\left( x \right)\ \mathrm dx = \left( -\dfrac{1^2}{4}+k \right)- \left( -\dfrac{\left(-1\right)^2}{4}-k \right)
\int_{-1}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx = \left( -\dfrac{1}{4}+k \right)- \left( -\dfrac{1}{4}-k \right)
\int_{-1}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx = -\dfrac{1}{4}+k+\dfrac{1}{4}+k
\int_{-1}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx = 2k
Donc \int_{-1}^{1} f\left( x \right) \ \mathrm dx =1 si et seulement si 2k=1 soit k=\dfrac{1}{2}.
Signe de f
Vérifions maintenant, qu'avec k=\dfrac{1}{2}, la fonction f est positive.
On obtient, pour tout x appartenant à \left[ -1;1 \right], f\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}.
Or :
-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\geq 0
\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}x\geq -\dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow x\leq 1
On a bien f\left(x\right)\geq 0 sur \left[ -1;1 \right].
On peut donc conclure :
La fonction f est une densité de probabilité si k=\dfrac{1}{2}
On suppose pour la suite de l'exercice que k vaut le réel trouvé en question 1, et on note X une variable aléatoire admettant f pour densité de probabilité.
Quelle est la valeur de p\left( X\leq0\right) ?
Une densité f de X est définie pour tout x de \left[ -1;1 \right] par :
f\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}.
Ainsi :
p\left( X\leq0\right)=\int_{-1}^{0}\left( -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}\right) \ \mathrm dx
Et, comme une primitive de x\longmapsto -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} sur \left[ -1;1 \right] est x \longmapsto -\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x}{2} :
p\left( X\leq0\right)=\left[ -\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x}{2} \right]_{-1}^{0}
p\left( X\leq0\right)= \left( -\dfrac{0^2}{4}+\dfrac{0}{2} \right)- \left( -\dfrac{\left(-1\right)^2}{4}+\dfrac{\left(-1\right)}{2} \right)
p\left( X\leq0\right)= - \left( -\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2} \right)
On peut donc conclure :
p\left( X\leq0\right)= \dfrac{3}{4}
Soient a et b deux réels. On rappelle que l'espérance d'une variable aléatoire Y de densité f définie sur \left[ a,b \right] est donnée par la formule :
E\left( Y \right)=\int_{a}^{b} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
Calculer E\left(X\right).
X étant une variable aléatoire de densité f définie sur \left[ -1{,}1 \right], on a :
E\left(X\right)=\int_{-1}^{1} xf\left(x\right) \ \mathrm dx
D'après la définition de la fonction f :
E\left(X\right)=\int_{-1}^{1} x\left( -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2} \right) \ \mathrm dx
E\left(X\right)=\int_{-1}^{1}\left( -\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2}\right) \ \mathrm dx
Une primitive de x\longmapsto -\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2} sur \left[ -1;1 \right] étant x \longmapsto -\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^2}{4} :
E\left(X\right)=\left[ -\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^2}{4}\right]_{-1}^{1}
E\left(X\right)=\left( -\dfrac{1^3}{6}+\dfrac{1^2}{4} \right)-\left( -\dfrac{\left(-1\right)^3}{6}+\dfrac{\left(-1\right)^2}{4} \right)
E\left(X\right)=\left( -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4} \right)-\left( \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4} \right)
E\left(X\right)= -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{4} -\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{4}
On peut donc conclure :
E\left(X\right)= -\dfrac{1}{3}