Calculer l'espérance d'une variable aléatoire continueMéthode

Méthode 1

Reconnaître une loi classique

L'espérance d'une variable aléatoire X de densité f peut se déterminer en remarquant que la loi de X est une loi classique dont on connaît l'espérance d'après le cours.

Soit f la fonction définie sur \left[ 2;8 \right] par :

f\left( x \right)=\dfrac{1}{6}

Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité de probabilité.

Calculer E\left( X \right).

Etape 1

Identifier la fonction de densité d'une loi classique

On remarque qu'une densité f de X est la densité d'une loi uniforme, exponentielle ou normale centrée réduite :

  • Si f est définie sur un intervalle \left[a;b\right] et est de la forme f:x\longmapsto \dfrac{1}{b-a}, on reconnaît une densité d'une loi uniforme sur \left[a;b\right].
  • Si f est définie sur \mathbb{R}^{+} et est de la forme f:x\longmapsto \lambda e^{-\lambda x}, on reconnaît une densité d'une loi exponentielle de paramètre \lambda.
  • Si f est définie sur \mathbb{R} et est de la forme f:x\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}, on reconnaît une densité d'une loi normale centrée réduite.

On a :

\forall x\in \left[ 2;8 \right], f\left( x \right)=\dfrac{1}{8-2}

En posant a=2 et b=8, f est donc définie sur \left[ a;b \right] et est de la forme f:x\longmapsto \dfrac{1}{b-a}.

Ainsi, f est une densité de la loi uniforme sur \left[ 2;8 \right].

Etape 2

En conclure la valeur de l'espérance

Les espérances de ces lois classiques étant données par le cours, on peut conclure :

  • Si f est une densité d'une loi uniforme sur \left[ a;b \right], l'espérance de X vaut \dfrac{a+b}{2}.
  • Si f est une densité d'une loi exponentielle de paramètre \lambda, l'espérance de X vaut \dfrac{1}{\lambda}.
  • Si f est une densité d'une loi normale centrée réduite, l'espérance de X vaut 0.

f étant une densité d'une loi uniforme sur \left[ 2;8 \right], on peut conclure :

E\left( X \right)=\dfrac{2+8}{2}=5

Méthode 2

Pour une loi quelconque

Si X est une variable aléatoire admettant pour densité la fonction f définie sur \left[ a;b \right], l'espérance de X se calcule avec la formule suivante :

E\left( X \right)=\int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt

Soit f la fonction de densité définie sur \left[ 1;2 \right] par :

f\left( x \right)=\dfrac{2}{x^2}

Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité de probabilité.

Calculer E\left( X \right).

Etape 1

Identifier une fonction de densité de X

On donne une densité de la variable X et l'intervalle de la forme \left[ a;b \right] sur lequel cette fonction est définie.

Une densité de X est la fonction f définie sur \left[ 1;2 \right] par :

f\left( x \right)=\dfrac{2}{x^2}

Etape 2

Calculer \int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt

On calcule cette intégrale en deux étapes :

  • On détermine G, une primitive de t\longmapsto tf\left(t\right) sur \left[ a;b \right].
  • On calcule la différence G\left( b \right)-G\left( a \right).

On a alors :

\int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=G\left( b \right)-G\left( a \right)

On a :

\forall t \in \left[ 1;2 \right], tf\left( t \right)=\dfrac{2t}{t^2}=\dfrac{2}{t}

Donc, G:t\longmapsto 2 \ln\left(t\right) est une primitive de t\longmapsto tf\left( t \right) sur \left[ 1;2 \right].

On a donc :

\int_{1}^{2} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=G\left( 2\right)-G\left( 1 \right)=2\ln\left(2\right)-2\ln\left(1\right)

Comme \ln\left(1\right)=0 et 2\ln\left(2\right)=\ln\left(2^{2}\right), on a :

\int_{1}^{2} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=\ln\left(4\right)

Etape 3

Conclure

On peut conclure :

E\left( X \right)=\int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=G\left( b \right)-G\left( a \right)

On peut donc conclure :

E\left( X \right)=\int_{1}^{2} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=\ln\left(4\right)

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