Calculer l'espérance d'une variable aléatoire continue Méthode

Sommaire

Méthode 1Reconnaître une loi classique 1Identifier la fonction de densité d'une loi classique 2En conclure la valeur de l'espéranceMéthode 2Pour une loi quelconque 1Identifier une fonction de densité de X 2Calculer \int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt 3Conclure
Méthode 1

Reconnaître une loi classique

L'espérance d'une variable aléatoire X de densité f peut se déterminer en remarquant que la loi de X est une loi classique dont on connaît l'espérance d'après le cours.

Soit f la fonction définie sur \left[ 2;8 \right] par :

f\left( x \right)=\dfrac{1}{6}

Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité de probabilité.

Calculer E\left( X \right).

Etape 1

Identifier la fonction de densité d'une loi classique

On remarque qu'une densité f de X est la densité d'une loi uniforme, exponentielle ou normale centrée réduite :

  • Si f est définie sur un intervalle \left[a;b\right] et est de la forme f:x\longmapsto \dfrac{1}{b-a}, on reconnaît une densité d'une loi uniforme sur \left[a;b\right].
  • Si f est définie sur \mathbb{R}^{+} et est de la forme f:x\longmapsto \lambda e^{-\lambda x}, on reconnaît une densité d'une loi exponentielle de paramètre \lambda.
  • Si f est définie sur \mathbb{R} et est de la forme f:x\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}, on reconnaît une densité d'une loi normale centrée réduite.

On a :

\forall x\in \left[ 2;8 \right], f\left( x \right)=\dfrac{1}{8-2}

En posant a=2 et b=8, f est donc définie sur \left[ a;b \right] et est de la forme f:x\longmapsto \dfrac{1}{b-a}.

Ainsi, f est une densité de la loi uniforme sur \left[ 2;8 \right].

Etape 2

En conclure la valeur de l'espérance

Les espérances de ces lois classiques étant données par le cours, on peut conclure :

  • Si f est une densité d'une loi uniforme sur \left[ a;b \right], l'espérance de X vaut \dfrac{a+b}{2}.
  • Si f est une densité d'une loi exponentielle de paramètre \lambda, l'espérance de X vaut \dfrac{1}{\lambda}.
  • Si f est une densité d'une loi normale centrée réduite, l'espérance de X vaut 0.

f étant une densité d'une loi uniforme sur \left[ 2;8 \right], on peut conclure :

E\left( X \right)=\dfrac{2+8}{2}=5

Méthode 2

Pour une loi quelconque

Si X est une variable aléatoire admettant pour densité la fonction f définie sur \left[ a;b \right], l'espérance de X se calcule avec la formule suivante :

E\left( X \right)=\int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt

Soit f la fonction de densité définie sur \left[ 1;2 \right] par :

f\left( x \right)=\dfrac{2}{x^2}

Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité de probabilité.

Calculer E\left( X \right).

Etape 1

Identifier une fonction de densité de X

On donne une densité de la variable X et l'intervalle de la forme \left[ a;b \right] sur lequel cette fonction est définie.

Une densité de X est la fonction f définie sur \left[ 1;2 \right] par :

f\left( x \right)=\dfrac{2}{x^2}

Etape 2

Calculer \int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt

On calcule cette intégrale en deux étapes :

  • On détermine G, une primitive de t\longmapsto tf\left(t\right) sur \left[ a;b \right].
  • On calcule la différence G\left( b \right)-G\left( a \right).

On a alors :

\int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=G\left( b \right)-G\left( a \right)

On a :

\forall t \in \left[ 1;2 \right], tf\left( t \right)=\dfrac{2t}{t^2}=\dfrac{2}{t}

Donc, G:t\longmapsto 2 \ln\left(t\right) est une primitive de t\longmapsto tf\left( t \right) sur \left[ 1;2 \right].

On a donc :

\int_{1}^{2} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=G\left( 2\right)-G\left( 1 \right)=2\ln\left(2\right)-2\ln\left(1\right)

Comme \ln\left(1\right)=0 et 2\ln\left(2\right)=\ln\left(2^{2}\right), on a :

\int_{1}^{2} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=\ln\left(4\right)

Etape 3

Conclure

On peut conclure :

E\left( X \right)=\int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=G\left( b \right)-G\left( a \right)

On peut donc conclure :

E\left( X \right)=\int_{1}^{2} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=\ln\left(4\right)