Calculer la probabilité d'un événement avec une loi continue Méthode

Sommaire

1Déterminer une densité de X 2Réciter la formule 3Calculer l'intégrale et conclure

Avec une loi continue, la probabilité d'un événement est calculée à l'aide d'une intégrale.

On considère la variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda = \dfrac{1}{3}.

Calculer p\left(X \geq 6\right).

Etape 1

Déterminer une densité de X

On donne une densité f de X sur un intervalle I.

La variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda = \dfrac{1}{3}. Donc une densité de X est f avec :

\forall x \in \left[ 0 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}

Etape 2

Réciter la formule

On exprime alors la probabilité en fonction d'une intégrale :

  • p\left(a \leq X \leq b\right) = \int_a^b f\left(t\right) dt
  • p\left( X \leq a\right) = \int_{x_0}^a f\left(t\right) dt, où x_0 est la borne inférieure de I
  • p\left( X \geq a\right) = 1 - p\left( X \leq a\right)= 1- \int_{x_0}^a f\left(t\right) dt

Ainsi, on a :

p\left( X \geq 6\right) = 1 - p\left( X \leq 6\right)= 1- \int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx

Etape 3

Calculer l'intégrale et conclure

On calcule alors l'intégrale et on conclut sur la valeur de la probabilité.

On calcule l'intégrale :

\int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx = \left[ -e^{-\frac{1}{3}x} \right]_0^6

\int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx =1-e^{-2}

On en déduit que :

p\left(X \geq 6 \right) = 1- \left(1-e^{-2}\right)

On obtient finalement :

p\left(X \geq 6 \right) = e^{-2}