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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
Avec une loi continue, la probabilité d'un événement est calculée à l'aide d'une intégrale.
On considère la variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda = \dfrac{1}{3}.
Calculer p\left(X \geq 6\right).
Déterminer une densité de X
On donne une densité f de X sur un intervalle I.
La variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre \lambda = \dfrac{1}{3}. Donc une densité de X est f avec :
\forall x \in \left[ 0 ; +\infty \right[, f\left(x\right) = \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}
Réciter la formule
On exprime alors la probabilité en fonction d'une intégrale :
- p\left(a \leq X \leq b\right) = \int_a^b f\left(t\right) dt
- p\left( X \leq a\right) = \int_{x_0}^a f\left(t\right) dt, où x_0 est la borne inférieure de I
- p\left( X \geq a\right) = 1 - p\left( X \leq a\right)= 1- \int_{x_0}^a f\left(t\right) dt
Ainsi, on a :
p\left( X \geq 6\right) = 1 - p\left( X \leq 6\right)= 1- \int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx
Calculer l'intégrale et conclure
On calcule alors l'intégrale et on conclut sur la valeur de la probabilité.
On calcule l'intégrale :
\int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx = \left[ -e^{-\frac{1}{3}x} \right]_0^6
\int_{0}^6 \dfrac{1}{3}e^{-\frac{1}{3}x}dx =1-e^{-2}
On en déduit que :
p\left(X \geq 6 \right) = 1- \left(1-e^{-2}\right)
On obtient finalement :
p\left(X \geq 6 \right) = e^{-2}