Montrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f Exercice

Montrer que la fonction F définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=\left(x+3\right)e^{3x+4}}\) est une primitive de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\left(3x+10\right)e^{3x+4}}\).

Montrer que la fonction F définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}\dfrac{e^x+3}{e^x+1}}\) est une primitive de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}}\).

Montrer que la fonction F définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=\dfrac{1}{40}\left(2x^4-3\right)^5}\) est une primitive de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^3\left(2x^4-3\right)^4}\).

Montrer que la fonction F définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{3}{2} \right\}}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=-\dfrac{1}{14\left(2x+3\right)^7}}\) est une primitive de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{3}{2} \right\}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(2x+3\right)^8}}\).

Montrer que la fonction F définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=-\dfrac{x^2+3}{x^2+1}}\) est une primitive de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{4x}{\left(x^2+1\right)^2}}\).

Montrer que la fonction F définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^*}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=\dfrac{x^6}{6}+x^3-\dfrac{x^2}{2}+7x-\dfrac{3}{x}}\) est une primitive de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^*}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^5+3x^2-x+7+\dfrac{3}{x^2}}\).

Montrer que la fonction F définie sur \(\displaystyle{\left]0;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=\dfrac{x^4}{2}-e^x+4\ln\left(x\right)}\) est une primitive de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left]0;+\infty\right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x^3-e^x+\dfrac{4}{x}}\).

énoncé suivant