On considère un carré ABCD et les point E et F tels que :
\overrightarrow{AE} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC} et \overrightarrow{DF} =- \dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}
Représenter cette configuration sur une figure.
Exprimer le vecteur \overrightarrow{BE} en fonction des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD}.
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE}
ABCD étant un carré, \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{BC} et on a donc :
\overrightarrow{AE} = \dfrac{2}{3} \overrightarrow{BC}= \dfrac{2}{3} \overrightarrow{AD}
Par conséquent :
\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}
On en déduit donc que :
\overrightarrow{BE} = -\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}
Exprimer le vecteur \overrightarrow{BF} en fonction des vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD}.
D'après la relation de Chasles, on a :
\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{DF}
Or :
\overrightarrow{DF} =- \dfrac{1}{2} \overrightarrow{DC}
Par conséquent :
\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DC}
Or, ABCD étant un carré :
\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}
On en déduit donc que :
\overrightarrow{BF} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}
Finalement :
\overrightarrow{BF} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}
Montrer que les points B, E et F sont alignés.
D'après les questions précédentes, on sait que :
- \overrightarrow{BE} = -\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}
- \overrightarrow{BF} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}
On en déduit que :
\overrightarrow{BF}= \dfrac{3}{2}\overrightarrow{BE}
Or, d'après le cours on sait que deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que \overrightarrow{u}= k \overrightarrow{v}.
On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{BE} et \overrightarrow{BF} sont colinéaires et donc que les droites \left( BE \right) et \left( BF \right) sont parallèles.
Ces 2 droites possédant un point en commun, elles sont confondues.
On peut donc conclure :
Les points B, E et F sont alignés.