Soit n un nombre entier impair. Montrer que le carré de n est aussi un nombre impair.
Soit n un nombre entier impair.
Comment n peut-il s'écrire ?
Un nombre pair est un nombre divisible par 2. Un nombre impair est un nombre qui n'est pas pair.
Dans la division euclidienne par 2 d'un nombre entier, le reste de la division est nécessairement 0 ou 1. Si le reste est 0, alors le nombre est divisible par 2 et donc est pair. Si le nombre est impair, son reste est 1.
Un nombre impair est donc de la forme :
n = 2m + 1 , m \in \mathbb{N}
Soit n un nombre entier impair et m \in \mathbb{N} tel que n = 2m +1 .
Comment le carré de n s'écrit-il en fonction de m ?
n est un nombre impair, donc il existe m \in \mathbb{N} tel que :
n = 2m + 1
En mettant n au carré :
n^2 = (2m + 1)^2
n^2 = 4m^2 + 2 \times 2m + 1
n^2 = 4m^2 + 4m + 1
On peut factoriser une partie de l'expression par 4m :
n^2 = 4m(m + 1) + 1
Soit m \in \mathbb{N} .
Quelle est la parité de 4m(m+1) ?
Le nombre 4m(m+1) s'écrit aussi :
2 \times \left( 2m(m+1) \right) = 2 \times k , où k = 2m(m+1)
Un nombre de la forme 2 \times k est un nombre pair.
Donc 4m(m+1) est pair.
Soit n un nombre entier impair.
Quelle est la parité de n^2 ?
Si n est un entier impair, alors il existe m tel que n = 2m + 1 .
Comme n^2 = 4m(m+1) + 1 et que 4m(m+1) est un entier pair, on déduit que 4m(m+1) +1 est un nombre impair car tout nombre qui succède à un entier pair est impair.
Ainsi, n^2 est impair.