Utiliser les notions de multiple, diviseur et de nombre premierCours

I

L'ensemble des nombres entiers

L'ensemble des nombres entiers naturels est le premier ensemble de nombres que l'on aborde, notamment avec les nombres entiers « négatifs » qui sont des entiers relatifs. On peut alors donner un sens précis à la soustraction.

A

Les entiers naturels

Entier naturel

Un entier naturel est un entier positif ou nul.

0, 1, 2 sont des entiers naturels.

L'ensemble des entiers naturels est noté \mathbb{N}. On a alors :

\mathbb{N} = \{ 0, 1, 2, 3, 4, \ldots \}

Pour désigner un entier naturel n, on note n \in \mathbb{N}.

L'addition et la multiplication de deux entiers naturels est un entier naturel.

  • 5+3 = 8 est un entier naturel.
  • 5\times3 = 15 est un entier naturel.

La soustraction de deux entiers naturels n'est en général pas un entier naturel.

2−5= −3 n'est pas un entier naturel.

B

Les entiers relatifs

Entier relatif 

Un entier relatif est un entier quelconque, positif ou négatif.

−3 est un entier relatif.

On note l'ensemble des entiers relatifs \mathbb{Z}. On a alors :

\mathbb{Z} = \{ \ldots, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 \ldots \}

Un entier naturel est un cas particulier d'entier relatif. L'ensemble des entiers naturels est contenu dans l'ensemble des entiers relatifs. On écrit alors \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}.

Le symbole \subset se lit « sous ensemble de ». On dit aussi que \mathbb{N} est un ensemble inclus dans l'ensemble \mathbb{Z}. Autrement dit, tous les éléments de \mathbb{N} sont des éléments de \mathbb{Z}.

L'addition, la soustraction et la multiplication de deux entiers relatifs est un entier relatif.

  • 5 + (−3) = 2 est un entier relatif.
  • 2−3 = −1 est un entier relatif.
  • 2\times(−3) = −6 est un entier relatif.

Le quotient de deux entiers relatifs n'est en général pas un entier relatif.

\dfrac{2}{3} n'est pas un entier relatif.

II

Le multiple et le diviseur

Soient a et b deux entiers relatifs, avec b non nul. Alors, le quotient \dfrac{a}{b} n'est pas forcément un nombre entier. Si c'est le cas, on dira alors que b divise a, ou que a est un multiple de b.

A

Le multiple

Multiple

Soient a et b deux entiers relatifs. On dit que a est un multiple de b si et seulement si on peut obtenir a en multipliant b par un autre entier relatif, a est un multiple de b si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que a = kb.

  • 6 = 2 \times 3 donc 6 est un multiple de 2 et de 3.
  • 8 = 2 \times 4 donc 8 est un multiple de 2 et de 4.

La notion de multiple est basée sur les entiers relatifs.

−6 est un multiple de 2 puisque −6 = 2 \times (−3).

Tout entier est multiple de 1 et de lui-même.

0 est un multiple de tout entier relatif.

Aucun entier relatif non nul n'est multiple de 0, à part 0 lui-même.

Soit a un nombre entier relatif. La somme de deux multiples de a est un multiple de a.

Soit a un entier relatif. Si b est un entier relatif multiple de a, par définition il existe un entier relatif k tel que b=ka. De même, si c est un entier relatif multiple de a, alors il existe un entier relatif k' tel que c=k'a. On a donc :

b+c = ka + k'a = (k + k')a

Or, k+k' est un entier relatif, car la somme de deux entiers relatifs est toujours un entier relatif.

Donc la somme b+c peut s'écrire comme le produit de a par un entier relatif. Autrement dit, b+c est un multiple de a.

On donne un algorithme qui accepte deux entiers naturels strictement positifs a et b et qui détermine si a est un multiple de b.

L'algorithme commence par demander la valeur des nombres entiers a et b. Puis, on enlève b à a tant que a reste positif.

  • Si jamais a devient nul, alors on a réussi à enlever un nombre entier de fois b à a, donc a est un multiple de b.
  • Si jamais a est strictement négatif, alors comme a est un multiple de b si et seulement si -a l'est, on peut appeler le programme avec -a. Il en est de même pour b.

 

On veille à ce que b\neq 0 sinon la boucle while ne terminera jamais.

L'algorithme pour déterminer si a est un multiple de b est 

# Lecture des données d'entrée
a = int(input("Donner la valeur de l'entier naturel non nul a"))
b = int(input("Donner la valeur de l'entier naturel non nul b"))

# La ligne suivante sert à renvoyer une erreur lorsque b est nul
assert (b!=0), "b doit être non nul !"

# On force a et b à être positifs
if a<0 :
    a = -a

if b<0 :
    b = -b

while a > 0 :
    a = a − b

if a == 0:
    print("a est multiple de b")

else :
    print("a n'est pas un multiple de b")

6 et 36 sont des multiples de 3.
42 = 36 + 6 est un multiple de 3.

L'inverse n'est pas vrai. Si deux nombres b et c sont tels que b+c est un multiple de a, alors on ne peut pas dire en général que b et c sont des multiples de a.

On a 6 est un multiple de 2, mais 5 + 1 = 6 et ni 5 ni 1 sont des multiples de 2.

B

Le diviseur et la fraction sous forme réductible et irréductible

Diviseur

Soient a et b deux entiers relatifs. a est un diviseur de b si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que b = ka. On dit aussi que a divise b.

  • 2 et 3 sont des diviseurs de 6, puisque 2 \times 3 = 6.
  • −2 est un diviseur de 18, puisque −2 \times −9 = 18.

Soient a et b deux entiers relatifs. Alors a est un multiple de b si et seulement si b est un diviseur de a.

Fraction sous forme réductible

Une fraction \dfrac{p}{q}p et q sont des entiers relatifs est sous forme réductible lorsqu'il existe k un diviseur de p et de q qui est différent de 1 ou −1.

Si une fraction est sous forme réductible, on peut alors la simplifier.

La fraction \dfrac{21}{36} est réductible, puisque 21 et 36 sont multiples de 3. On peut alors simplifier la fraction :
\dfrac{21}{36} = \dfrac{3 \times 7 }{ 3 \times 12} = \dfrac{7}{12}

Fraction sous forme irréductible

Une fraction qui n'est pas sous forme réductible est dite sous forme irréductible.

La fraction \dfrac{2}{3} est sous forme irréductible.

III

Les nombres pairs, les nombres impairs et les nombres premiers

Grâce la notion de multiple, on peut définir les nombres pairs et les nombres impairs. Un autre ensemble très important de nombres entiers est l'ensemble des nombres premiers dont on verra la définition.

A

Les nombres pairs

Nombre pair

On dit qu'un entier relatif est un nombre pair si et seulement s'il est multiple de 2, c'est-à-dire si 2 est un diviseur de ce nombre relatif.

−2, 0 et 18 sont des nombres pairs, multiples de 2 et divisibles par 2

Un entier relatif n est pair si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que n=2\times k.

Le carré d'un nombre pair est pair.

Soit n un entier relatif pair. Alors il existe un entier relatif k tel que n=2\times k. On a alors :

n^2 = (2k)^2 = 2^2k^2 = 2 \times 2k^2

Or, 2k^2 est un nombre entier relatif.

Donc n^2 est le produit d'un nombre entier relatif par 2, donc n^2 est pair.

On a même montré que le carré d'un nombre pair est divisible par 4.

B

Les nombres impairs

Nombre impair

On dit qu'un entier relatif est un nombre impair si et seulement si ce n'est pas un multiple de 2.

Un entier relatif n est impair si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que n = 2k +1.

Le carré d'un nombre impair est impair.

Soit n un entier relatif impair. Il existe un entier relatif k tel que n=2k +1. On a alors n^2 = (2k+1)^2.

D'après l'identité remarquable :

n^2 = (2k)^2 + 2\times 2k \times 1 + 1^2

Donc n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2 (2k^2 + 2k) + 1. Or 2k^2 + 2k est un nombre entier. Donc n^2 s'écrit n^2 = 2\times k' + 1k' = 2k^2 + 2k.

Donc n^2 est un nombre entier impair.

On a montré qu'un carré d'un nombre pair est pair, et que le carré d'un nombre impair est impair. Donc, puisqu'un nombre entier est soit pair, soit impair, on peut en déduire les propriétés suivantes :

n^2 est un entier pair si et seulement si n est un entier pair.

n^2 est un entier impair si et seulement si n est un entier impair.

C

Les nombres premiers

Les nombres premiers constituent les briques élémentaires de l'arithmétique. Ils sont utilisés pour chiffrer les informations sensibles sur le Web ou dans les banques. Tous les nombres considérés dans cette section sont des entiers naturels.

Nombre premier

Un nombre premier est un entier naturel différent de 1 qui n'a pas d'autres diviseurs que 1 et lui-même.

2 est un nombre premier car il n'est divisible que par 1 et par lui-même.

La liste des nombres premiers commence par les nombres suivants : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, etc.

La liste des nombres premiers est infinie. Autrement dit, il n'existe pas de nombre premier plus grand que tous les autres.

Le seul nombre premier pair est 2 !