On lance un dé cubique truqué dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On observe la face supérieure.
On suppose que la probabilité de sortie d'une face est proportionnelle au nombre écrit sur la face.
Quel est le coefficient de proportionnalité permettant d'obtenir la probabilité de sortie d'une face à partir du nombre inscrit sur la face ?
D'après l'énoncé, on sait que le dé cubique est truqué, on est donc dans une situation de non-équiprobabilité.
On note p\left(\left\{1\right\}\right), la probabilité que le chiffre 1 apparaisse. De plus, d'après l'énoncé, on sait aussi que la probabilité de sortie d'une face est proportionnelle au nombre écrit sur la face supérieure du dé.
Les probabilités que les autres faces apparaissent sont donc respectivement :
- p\left(\left\{2\right\}\right)=2\times p\left(\left\{1\right\}\right)
- p\left(\left\{3\right\}\right)=3\times p\left(\left\{1\right\}\right)
- p\left(\left\{4\right\}\right)=4\times p\left(\left\{1\right\}\right)
- p\left(\left\{5\right\}\right)=5\times p\left(\left\{1\right\}\right)
- p\left(\left\{6\right\}\right)=6\times p\left(\left\{1\right\}\right)
Le coefficient de proportionnalité permettant d'obtenir la probabilité de sortie d'une face à partir du nombre inscrit sur la face est donc p\left(\left\{1\right\}\right). De plus, d'après le cours la somme des probabilités des événements élémentaires vaut 1.
On a donc :
p\left(\left\{1\right\}\right)+p\left(\left\{2\right\}\right)+p\left(\left\{3\right\}\right)+p\left(\left\{4\right\}\right)+p\left(\left\{5\right\}\right)+p\left(\left\{6\right\}\right)=1
Donc :
p\left(\left\{1\right\}\right)+2p\left(\left\{1\right\}\right)+3p\left(\left\{1\right\}\right)+4p\left(\left\{1\right\}\right)+5p\left(\left\{1\right\}\right)+6p\left(\left\{1\right\}\right)=1
Donc :
p\left(\left\{1\right\}\right)\left(1+2+3+4+5+6\right)=1
Donc :
p\left(\left\{1\right\}\right)=\cfrac{1}{21}
Le coefficient de proportionnalité permettant d'obtenir la probabilité de sortie d'une face à partir du nombre inscrit sur la face est donc de \cfrac{1}{21}.
Quel tableau correspond à la loi de probabilité de cette expérience aléatoire ?
D'après la question précédente, on a montré que :
p\left(\left\{1\right\}\right)=\cfrac{1}{21}, on a donc :
- p\left(\left\{2\right\}\right)=2\times p\left(\left\{1\right\}\right)=\cfrac{2}{21}
- p\left(\left\{3\right\}\right)=3\times p\left(\left\{1\right\}\right)=\cfrac{3}{21}=\cfrac{1}{7}
- p\left(\left\{4\right\}\right)=4\times p\left(\left\{1\right\}\right)=\cfrac{4}{21}
- p\left(\left\{5\right\}\right)=5\times p\left(\left\{1\right\}\right)=\cfrac{5}{21}
- p\left(\left\{6\right\}\right)=6\times p\left(\left\{1\right\}\right)=\cfrac{6}{21}=\cfrac{2}{7}
On peut résumer cette expérience aléatoire dans le tableau ci-dessous.
| Face du dé truqué | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | \cfrac{1}{21} | \cfrac{2}{21} | \cfrac{1}{7} | \cfrac{4}{21} | \cfrac{5}{21} | \cfrac{2}{7} |