L'espérance d'une variable aléatoire X donne la valeur que prend X en moyenne, ou la valeur de X que l'on peut "espérer". On la calcule à partir de la loi de probabilité de X.
X est la variable aléatoire donnant le chiffre d'affaires mensuel d'un commerçant en euros. Le tableau suivant donne la loi de probabilité de la variable X
| \(\displaystyle{x_i}\) | 1000 | 1500 | 2000 | 3000 | 4500 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\displaystyle{p\left(x=X_i\right)}\) | 0,05 | 0,3 | 0,4 | 0,15 | 0,10 |
Calculer \(\displaystyle{E\left(X\right)}\). Le commerçant peut-il espérer un chiffre d'affaires annuel supérieur à 25 000 € ?
Rappeler la loi de probabilité de X
Si elle n'a pas déjà été déterminée, on détermine la loi de probabilité de X. Sinon, on la rappelle.
Ici, la loi de probabilité de X est donnée dans l'énoncé :
| \(\displaystyle{x_i}\) | 1000 | 1500 | 2000 | 3000 | 4500 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\displaystyle{p\left(x=X_i\right)}\) | 0,05 | 0,3 | 0,4 | 0,15 | 0,10 |
Interpréter l'espérance
\(\displaystyle{E\left(X\right)}\) est la valeur que peut prendre X en moyenne, ou la valeur de X que l'on peut espérer obtenir.
\(\displaystyle{E\left(X\right) = 2\ 200}\), donc le commerçant peut espérer un chiffre d'affaires mensuel de 2200.
Cela donne un chiffre d'affaires annuel de \(\displaystyle{12 \times 2\ 200= 26\ 400}\).
L'espérance de son chiffre d'affaires annuel vaut donc 26 400€.
Par conséquent, le commerçant peut bien espérer un chiffre d'affaires annuel de plus de 25 000€.