Sommaire
L'espérance d'une variable aléatoire X donne la valeur que prend X en moyenne, ou la valeur de X que l'on peut "espérer". On la calcule à partir de la loi de probabilité de X.
X est la variable aléatoire donnant le chiffre d'affaires mensuel d'un commerçant en euros. Le tableau suivant donne la loi de probabilité de la variable X
| x_i | 1000 | 1500 | 2000 | 3000 | 4500 |
|---|---|---|---|---|---|
| p\left(x=X_i\right) | 0,05 | 0,3 | 0,4 | 0,15 | 0,10 |
Calculer E\left(X\right). Le commerçant peut-il espérer un chiffre d'affaires annuel supérieur à 25 000 € ?
Rappeler la loi de probabilité de X
Si elle n'a pas déjà été déterminée, on détermine la loi de probabilité de X. Sinon, on la rappelle.
Ici, la loi de probabilité de X est donnée dans l'énoncé :
| x_i | 1000 | 1500 | 2000 | 3000 | 4500 |
|---|---|---|---|---|---|
| p\left(x=X_i\right) | 0,05 | 0,3 | 0,4 | 0,15 | 0,10 |
Enoncer la formule
On rappelle la formule de l'espérance :
E\left(X\right) =\sum x_i p\left(X=x_i\right) = x_1p\left(X= x_1\right)+x_2p\left(X= x_2\right)+...+x_np\left(X= x_n\right)
On sait que E\left(X\right) =\sum x_i p\left(X=x_i\right) .
Effectuer le calcul
On applique cette formule et on calcule le résultat.
On obtient :
E\left(X\right) = 1\ 000 \times 0,05+ 1\ 500\times 0,3+2\ 000 \times 0,4 + 3\ 000 \times 0,15 + 4\ 500 \times 0,10
E\left(X\right) = 2\ 200
Interpréter l'espérance
E\left(X\right) est la valeur que peut prendre X en moyenne, ou la valeur de X que l'on peut espérer obtenir.
E\left(X\right) = 2\ 200, donc le commerçant peut espérer un chiffre d'affaires mensuel de 2200.
Cela donne un chiffre d'affaires annuel de 12 \times 2\ 200= 26\ 400.
L'espérance de son chiffre d'affaires annuel vaut donc 26 400€.
Par conséquent, le commerçant peut bien espérer un chiffre d'affaires annuel de plus de 25 000€.