Sommaire
1Rappeler la loi de probabilité de X 2Enoncer la formule 3Calculer ou rappeler la valeur de l'espérance 4Appliquer la formule 5Interpréter la varianceLa variance et l'écart-type d'une variable aléatoire X donne des informations sur la dispersion des valeurs de X.
Le tableau suivant donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
| x_i | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| p\left(x=x_i\right) | 0,1 | 0,25 | 0,4 | 0,15 | 0,1 |
Calculer V\left(X\right) et \sigma \left(X\right).
Rappeler la loi de probabilité de X
Si elle n'a pas déjà été déterminée, on détermine la loi de probabilité de X. Sinon, on la rappelle.
Ici, la loi de probabilité de X est donnée dans l'énoncé :
| x_i | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| p\left(x=X_i\right) | 0,1 | 0,25 | 0,4 | 0,15 | 0,1 |
Enoncer la formule
On rappelle les formules :
- V\left(X\right) = \sum_{i=0}^{n}\left(x_i-E\left(X\right)\right)^2\times p\left(X = x_i\right)
- \sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}
D'après le cours :
- V\left(X\right) = \sum_{i=0}^{n}\left(x_i-E\left(X\right)\right)^2\times p\left(X = x_i\right)
- \sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}
Calculer ou rappeler la valeur de l'espérance
On rappelle que E\left(X\right) =\sum x_i p\left(X=x_i\right) .
On calcule la valeur de l'espérance. Si elle a déjà été calculée dans les questions précédentes, on la rappelle.
On sait que :
E\left(X\right) =\sum x_i p\left(X=x_i\right)
Soit :
E\left(X\right) = 0 \times 0{,}1+ 2\times 0{,}25+4\times 0{,}4 + 6\times 0{,}15 + 8\times 0{,}10.
E\left(X\right) = 3{,}8
Appliquer la formule
On applique la formule afin de trouver la valeur de la variance, puis de l'écart-type.
On a :
V\left(X\right) = \sum_{i=0}^{n}\left(x_i-E\left(X\right)\right)^2\times P\left(X = x_i\right).
Soit, ici :
V\left(X\right) =\left(0-3{,}8\right)^2\times 0{,}1+\left(2-3{,}8\right)^2\times 0{,}25+\left(4-3{,}8\right)^2\times 0{,}4+\left(6-3{,}8\right)^2\times 0{,}15 +\left(8-3{,}8\right)^2\times 0{,}1
V\left(X\right) = 4{,}76
De plus, on sait que :
\sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}
Soit :
\sigma \left(X\right) \approx 2{,}18
Interpréter la variance
Plus la variance est élevée, plus la dispersion des valeurs par rapport à l'espérance est forte.
En pratique, on peut interpréter une variance uniquement en la comparant à une autre.
Afin de calculer la variance, on peut également utiliser la formule : V\left(X\right) = \sum_{i=0}^{n} \left[\left(x_i\right)^2 p\left(X=x_i\right)\right]-\left(E\left(X\right)\right)^2