La variance et l'écart-type d'une variable aléatoire X donne des informations sur la dispersion des valeurs de X.
Le tableau suivant donne la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
| \(\displaystyle{x_i}\) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\displaystyle{p\left(x=x_i\right)}\) | 0,1 | 0,25 | 0,4 | 0,15 | 0,1 |
Calculer \(\displaystyle{V\left(X\right)}\) et \(\displaystyle{\sigma \left(X\right)}\).
Enoncer la formule
On rappelle les formules :
- \(\displaystyle{V\left(X\right) = \sum_{i=0}^{n}\left(x_i-E\left(X\right)\right)^2\times p\left(X = x_i\right)}\)
- \(\displaystyle{\sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}}\)
D'après le cours :
- \(\displaystyle{V\left(X\right) = \sum_{i=0}^{n}\left(x_i-E\left(X\right)\right)^2\times p\left(X = x_i\right)}\)
- \(\displaystyle{\sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}}\)
Calculer ou rappeler la valeur de l'espérance
On rappelle que \(\displaystyle{E\left(X\right) =\sum x_i p\left(X=x_i\right) }\).
On calcule la valeur de l'espérance. Si elle a déjà été calculée dans les questions précédentes, on la rappelle.
On sait que :
\(\displaystyle{E\left(X\right) =\sum x_i p\left(X=x_i\right) }\)
Soit :
\(\displaystyle{E\left(X\right) = 0 \times 0,1+ 2\times 0,25+4\times 0,4 + 6\times 0,15 + 8\times 0,10}\).
\(\displaystyle{E\left(X\right) = 3,8}\)
Appliquer la formule
On applique la formule afin de trouver la valeur de la variance, puis de l'écart-type.
On a :
\(\displaystyle{V\left(X\right) = \sum_{i=0}^{n}\left(x_i-E\left(X\right)\right)^2\times P\left(X = x_i\right)}\).
Soit, ici :
\(\displaystyle{V\left(X\right) =\left(0-3,8\right)^2\times 0,1+\left(2-3,8\right)^2\times 0,25+\left(4-3,8\right)^2\times 0,4+\left(6-3,8\right)^2\times 0,15 +\left(8-3,8\right)^2\times 0,1}\)
\(\displaystyle{V\left(X\right) = 4,76}\)
De plus, on sait que :
\(\displaystyle{\sigma \left(X\right) = \sqrt{V\left(X\right)}}\)
Soit :
\(\displaystyle{\sigma \left(X\right) \approx 2,18}\)