Un joueur lance une fléchette sur une cible. Il atteint le rouge avec une probabilité de \dfrac{1}{6}, le vert avec une probabilité de \dfrac{1}{3} et le jaune avec une probabilité de \dfrac{1}{2}.
Il mise 2€. Il gagne 5€ s'il atteint le rouge, 1€ s'il atteint le vert et rien s'il atteint le jaune.
On appelle G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
Quelle est la loi de G ?
Soit G la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
On cherche tout d'abord les valeurs possibles de G.
D'après l'énoncé, on sait que le joueur mise 2 euros. G peut donc valoir :
- 5-2=3, si la fléchette du joueur atteint le rouge.
- 1-2=-1, si la fléchette du joueur atteint le vert.
- 0-2=-2, si la fléchette du joueur atteint le jaune.
On cherche à présent les probabilités de p\left(G=3\right),\;p\left(G=-1\right) et p\left(G=-2\right).
Le joueur gagne 3 euros si il atteint le rouge avec une probabilité de \cfrac{1}{6}. Donc :
p\left(G=3\right)=\cfrac{1}{6}
Le joueur perd 1 euro si il atteint le vert avec une probabilité de \cfrac{1}{3}. Donc :
p\left(G=-1\right)=\cfrac{1}{3}
Le joueur perd 2 euros si il atteint le jaune avec une probabilité de \cfrac{1}{2}. Donc :
p\left(G=-2\right)=\cfrac{1}{2}
À présent on peut déterminer la loi de de probabilité de G, grâce au tableau ci-dessous.
Loi de probabilité de G :
x_i -2 -1 3 p\left(G=x_i\right) \cfrac{1}{2} \cfrac{1}{3} \cfrac{1}{6}Le jeu est-il équitable ?
Pour savoir si un jeu est équitable ou non, on doit calculer son espérance.
D'après le cours on sait que l'espérance d'une variable aléatoire G est donnée par la formule suivante :
E\left(G\right)=\sum x_ip\left(G=x_i\right), donc d'après la question précédente on a :
E\left(G\right)=-2\times p\left(G=-2\right)-1\times p\left(G=-1\right)+3\times p\left(G=-3\right)
E\left(G\right)=-2\times \cfrac{1}{2}-1\times \cfrac{1}{3}+3\times \cfrac{1}{6}
E\left(G\right)=-1- \cfrac{1}{3}+\cfrac{3}{6}
E\left(G\right)=\cfrac{-6-2+3}{6}
E\left(G\right)=-\cfrac{5}{6}
On a donc :
E\left(G\right) \lt 0
Or, le jeu est équitable, si l'espérance de G est nulle.
Pour ce jeu, on a donc une espérance négative, le jeu est donc défavorable au joueur.
- Le jeu n'est donc pas équitable.
Comment rendre le jeu équitable en modifiant la mise ?
Pour avoir le jeu équitable, il faut trouver l'espérance de G nulle.
Or, ici E\left(G\right)=-\cfrac{5}{6}
Il faut donc enlever à la mise de départ, \cfrac{5}{6}\approx0{,}83, soit environ 83 centimes.
Soit une nouvelle mise de départ de :
2-\cfrac{5}{6}=\cfrac{12-5}{6}=\cfrac{7}{6}\approx 1{,}16
Avec cette nouvelle mise de départ, on obtient :
E\left(G\right)=-\cfrac{5}{6}+\cfrac{5}{6}=0
En moyenne, le joueur ne perdra pas d'argent et n'en gagnera pas.
- Il faut donc une mise de départ d'environ 1 euro et 16 centimes pour avoir un jeu équitable.