Une personne, immobile, tire avec une carabine sur une cible. Lorsque la balle de masse m_b = 6{,}5 g est éjectée , sa vitesse vaut 310 m.s-1.
Donnée : masse de la carabine : m_c = 4{,}5 kg
On considère le système {carabine - balle} comme pseudo-isolé.
Que peut-on en déduire quant à la quantité de mouvement de ce système ?
On considère le système {carabine - balle} comme pseudo-isolé.
Un système est dit pseudo-isolé si les forces qui s'exercent sur lui se compensent.
Le vecteur quantité de mouvement d'un système pseudo-isolé est constant.
On peut en déduire que la quantité de mouvement est conservée.
Quelle est la relation vectorielle qui lie alors les quantités de mouvement initiale (\overrightarrow{p_i}) et finale (\overrightarrow{p_f}) du système ?
La quantité de mouvement étant conservée, la relation vectorielle qui lie alors les quantités de mouvement initiale (\overrightarrow{p_i}) et finale (\overrightarrow{p_f}) du système est :
\overrightarrow{p_i} = \overrightarrow{p_f}
La relation vectorielle qui lie les quantités de mouvement initiale (\overrightarrow{p_i}) et finale (\overrightarrow{p_f}) du système est :
\overrightarrow{p_i} = \overrightarrow{p_f}
Quelle est la quantité de mouvement initiale du système, avant le tir ?
Le vecteur quantité de mouvement est défini par le produit suivant :
\overrightarrow{p}\left(t\right) = m\times\overrightarrow{v}\left(t\right)
Avant le tir, la masse du système {carabine - balle} est m_c + m_b et sa vitesse est \overrightarrow{v_i}=\overrightarrow{0}. Ainsi, la quantité de mouvement initiale du système vaut :
\overrightarrow{p_i} = \left(m_c+m_b\right)\times\overrightarrow{0}
\overrightarrow{p_i} = \overrightarrow{0}
La quantité de mouvement initiale du système, avant le tir, est égale au vecteur nul :
\overrightarrow{p_i} =\overrightarrow{0}
Quelle est la relation qui lie les quantités de mouvement de la carabine et de la balle au moment du tir ?
Au moment du tir, la quantité de mouvement de la carabine a pour expression :
\overrightarrow{p_c} = m_c \times \overrightarrow{v_{c}}
Et la quantité de mouvement de la balle a pour expression :
\overrightarrow{p_b} = m_b \times \overrightarrow{v_{b}}
La quantité de mouvement finale du système est donc :
\overrightarrow{p_f} = \overrightarrow{p_c} + \overrightarrow{p_b}
On sait que la quantité de mouvement se conserve donc :
\overrightarrow{p_f} = \overrightarrow{p_i}
\overrightarrow{p_f} = \overrightarrow{0}
On en déduit :
\overrightarrow{p_c} + \overrightarrow{p_b} = \overrightarrow{0}
Soit :
\overrightarrow{p_c} = - \overrightarrow{p_b}
Après le tir, les quantités de mouvement de la carabine et de la balle sont opposées :
\overrightarrow{p_c} = - \overrightarrow{p_b}
Quelle est l'expression du vecteur vitesse de la carabine \overrightarrow{v_{c}} après le tir en fonction des masses de la balle (mb), de la carabine (mc) et de la vitesse d'éjection de la balle (\overrightarrow{v_{b}}) ?
On sait qu'après le tir, les quantités de mouvement de la carabine et de la balle sont opposées :
\overrightarrow{p_c} = - \overrightarrow{p_b}
On connaît les expression de ces deux quantités de mouvement :
\overrightarrow{p_c} = m_c \times \overrightarrow{v_c}
\overrightarrow{p_b} = m_b \times \overrightarrow{v_b}
On obtient donc :
m_c \times \overrightarrow{v_c} = - m_b \times \overrightarrow{v_b}
D'où l'expression du vecteur vitesse de la carabine :
\overrightarrow{v_c} = - \dfrac{m_b \times \overrightarrow{v_b}}{m_c}
Après le tir, l'expression du vecteur vitesse de la carabine est :
\overrightarrow{v_c} = - \dfrac{m_b \times \overrightarrow{v_b}}{m_c}
Quelle est la valeur de la vitesse de recul de la carabine ?
L'expression du vecteur vitesse de la carabine est :
\overrightarrow{v_c} = - \dfrac{m_b \times \overrightarrow{v_b}}{m_c}
En projetant cette relation sur l'axe de même direction que celui des vecteurs vitesse :
{v_c} = \dfrac{m_b \times {v_b}}{m_c}
D'où :
v_{c}=\dfrac{6{,}5\times10^{-3}}{4{,}5}\times310
v_{c}=0{,}45 m.s-1
La valeur de la vitesse de recul de la carabine est 0,45 m.s-1.
En réalité, la personne tient fermement la carabine.
Comment est modifiée la vitesse de recul de la carabine ?
Si la personne tient fermement la carabine, la vitesse de recul de la carabine sera plus faible.
La vitesse de recul de la carabine sera plus faible.