La loupe est un objet composé d'une simple lentille mince convergente. L'objectif est d'étudier le principe en détail, en considérant une lentille de vergence C = 20 dioptries.
Quelle est la distance focale f' de la loupe ?
La distance focale notée f' vaut l'inverse de la vergence C :
C = \dfrac{1}{f'} = \dfrac{1}{\overline{OF'}}
Avec :
- C, en dioptries, de symbole \delta
- f', en mètres, de symbole m
On réarrange donc l'équation pour déterminer f' :
f' = \dfrac{1}{C}
En faisant l'application numérique, on obtient :
f' = \dfrac{1}{20}
f' = 5{,}0 \times 10^{-2} m
La distance focale f' de la loupe est de 5,0 cm.
Quel est le schéma correct représentant l'axe optique, la lentille, ses foyers image et objet ainsi qu'un objet AB de 1 cm de haut situé 1 cm après le point focal objet (l'objet symbolise par exemple une fourmi que l'on observe à travers la loupe) ?
On commence par schématiser l'axe optique, la lentille, ses foyers image et objet :
- L'axe optique est représenté horizontalement et orienté vers la droite.
- La lentille est placée à l'origine de l'axe et symbolisée par un trait vertical doublement fléché (flèches orientées vers l'extérieur dans le cas d'un lentille convergente comme ici).
- Le foyer image F' est placé à une distance f' (donc 5 cm) sur l'axe optique après la lentille.
- Le foyer objet F est placé à une distance f' (donc 5 cm) sur l'axe optique avant la lentille.
On ajoute alors l'objet AB de 1 cm de haut situé 1 cm après le point focal objet, ce qui représente donc 4 cm avant le centre optique (vu que le foyer objet est situé 5 cm avant le centre optique).
Construire l'image de l'objet AB à travers la lentille. Mesurer la taille de l'image obtenue.
Pour déterminer l'image A'B' d'un objet AB, on place les images des points A et B (A' et B').
Position de A'
L'image A' du point A est sur l'axe optique car A est sur l'axe optique.
Position de B'
L'image B' du point B est obtenue en traçant les rayons caractéristiques :
- Le rayon incident passant par le foyer objet F émerge de la lentille parallèlement à l'axe optique.
L'objet AB étant situé après le foyer objet dans cet exemple, on trace en pointillés un trait partant de F et allant en B pour nous donner la direction du rayon partant de B. Il s'agit du rayon (1) sur le schéma. - Le rayon incident parallèle à l'axe optique émerge de la lentille en passant par le foyer image F'. Il s'agit du rayon (2) sur le schéma.
- Le rayon passant par le centre optique O n'est pas dévié. Il s'agit du rayon (3) sur le schéma.
On constate ci-dessus que ces trois rayons divergent, ils ne pourront donc jamais se croiser une fois la lentille traversée pour former une image réelle de B'.
Pour déterminer la position de l'image A'B', on prolonge donc ces rayons en pointillés, avant qu'ils n'atteignent la lentille, jusqu'à leur point d'intersection.
On obtient alors B', image de B. A' est pour sa part à la verticale de B', sur l'axe optique.
On mesure finalement la taille de A'B' directement sur le schéma :
La taille de l'image A'B' est de 5,5 cm sur le schéma.
L'image est-elle réelle ou virtuelle ?
A'B' est plus grande que AB et située avant la lentille, dans l'espace objet.
Il s'agit donc d'une image virtuelle : elle ne peut en effet pas être visualisée sur un écran (elle ne se trouve pas dans l'espace image) mais à travers la lentille dont elle est "issue", la loupe, qui a donc pour effet de grandir virtuellement l'objet AB.
On souhaite vérifier par le calcul le résultat mesuré sur le schéma. Déterminer tout d'abord, grâce à la relation de conjugaison, la distance algébrique \overline{OA'}.
La relation de conjugaison s'écrit :
\dfrac{1}{\overline{OF'}} = - \dfrac{1}{\overline{OA}} + \dfrac{1}{\overline{OA'}}
On cherche ici à déterminer \overline{OA'} donc il faut réarranger la relation de conjugaison :
\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{1}{\overline{OF'}} + \dfrac{1}{\overline{OA}}
\dfrac{1}{\overline{OA'}} = \dfrac{\overline{OF'}+ \overline{OA}}{\overline{OF'}\times \overline{OA}}
\overline{OA'} = \dfrac{\overline{OF'}\times \overline{OA}}{\overline{OF'}+ \overline{OA}}
Ce qui, en faisant l'application numérique (on tient compte du fait qu'il s'agit de grandeurs algébriques), donne :
\overline{OA'} = \dfrac{5 \times\left(-4\right)}{5-4}
\overline{OA'} = -20 cm
L'image A'B' se trouve donc 20 centimètres avant le centre optique.
La distance algébrique \overline{OA'} est de -20 cm.
En déduire le grandissement γ.
Le grandissement d'une lentille (grandeur algébrique sans unité) est donné par la relation :
\gamma= \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}
En faisant l'application numérique avec \overline{OA} et \overline{OA'}, on obtient :
\gamma= \dfrac{-20}{-4}
\gamma= 5
Le grandissement est de 5.
Enfin, en déduire \overline{A′B′}. Comparer au résultat obtenu graphiquement.
Le grandissement d'une lentille (grandeur algébrique sans unité) est donné par la relation :
\gamma= \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}
Connaissant le grandissement et une des deux grandeurs du rapport, on peut en déduire l'autre :
\gamma\times \overline{AB} = \overline{A'B'}
Donc en faisant l'application numérique, on trouve :
\overline{A'B'} = 5 \times 1
\overline{A'B'} = 5 cm
Comme 5\lt 5{,}5, cela signifie que l'image obtenue par tracé est un peu plus grande que selon la théorie avec un écart de 10% .
On trouve que l'image \overline{A'B'} vaut 5 cm. Cela est légèrement plus petit que ce qui a été trouvé par le tracé (5,5 cm).