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Les lois à densité

I

La densité de probabilité

Loi de probabilité continue et densité de probabilité

Soit f une fonction définie sur un intervalle \(\displaystyle{I = \left[a ; b \right]}\), positive et continue sur I, telle que :
\(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = 1}\)
Alors, en posant pour tout réel c de I :

\(\displaystyle{p\left(X\in\left[a ; c\right]\right) =\int_{a}^{c}f\left(t\right) \ \mathrm dt}\)

On définit une loi de probabilité continue sur I. La fonction f est une densité de probabilité de cette loi.

Considérons la fonction f définie pour tout réel x de \(\displaystyle{\left[0;2\right]}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{x}{2}}\). f est continue et positive sur \(\displaystyle{\left[0;2\right]}\).
De plus, une primitive de f est la fonction F définie pour tout réel x de \(\displaystyle{\left[0;2\right]}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=\dfrac{x^2}{4}}\). On a donc :

\(\displaystyle{\int_{0}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(0\right)=\dfrac44-0=1}\)

f est donc une densité de probabilités sur \(\displaystyle{\left[0;2\right]}\).

Pour tout réel c de \(\displaystyle{\left[0;2\right]}\), on définit la loi de probabilité :

\(\displaystyle{p\left(X\in\left[0;c\right]\right)=\int_{0}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

Soient a et b deux réels tels que \(\displaystyle{a\leqslant b}\) :

\(\displaystyle{p\left(X \in \left[a ; b\right]\right) = p\left(a \leq X \leq b\right)}\)

Soient a et b deux réels tels que \(\displaystyle{a\leqslant b}\) :

  • \(\displaystyle{p\left(X\in\left[a ; b\right]\right) = p\left(X\in\left[a ; b\right[\right) = p\left(X\in\left]a ; b\right]\right) = p\left(X\in\left]a ; b\right[\right)}\)
  • \(\displaystyle{p\left(X\in\left[a ; a\right]\right) =p\left(X=a\right)= 0}\)

\(\displaystyle{P\left(a \leq X \leq b\right) = P\left(X \leq b\right) - P\left(X \leq a\right) }\)

\(\displaystyle{P\left(X \leq a\right) + P\left(X \gt a\right)=1}\)

II

La loi uniforme sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\)

Loi uniforme

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) (\(\displaystyle{a \lt b}\)) si et seulement si elle admet pour densité la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{b-a}}\)

Si X suit une loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[4;6\right]}\), alors sa fonction de densité est la fonction f définie pour tout réel x de \(\displaystyle{\left[4;6\right]}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{6-4}=\dfrac12}\)

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors pour tous réels c et d tels que \(\displaystyle{a \leq c \leq d \leq b }\) :

\(\displaystyle{p\left(c \leq X \leq d\right) = \dfrac{d-c}{b-a}}\)

X suit la loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[2 ; 5\right]}\). On a alors :

\(\displaystyle{p\left(3\leq X \leq 4\right) = \dfrac{4-3}{5-2}=\dfrac13}\)

La valeur de \(\displaystyle{p\left(X\in\left[c ; d\right]\right)}\) est égale à l'aire de la surface comprise entre la droite d'équation \(\displaystyle{y = \dfrac{1}{b-a}}\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(\displaystyle{x = c}\) et \(\displaystyle{x = d}\).

-

Espérance d'une loi uniforme

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), son espérance est alors égale à :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = \dfrac{a+b}{2}}\)

X suit la loi uniforme sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[2 ; 5\right]}\). On a alors :

\(\displaystyle{E\left(X\right)=\dfrac{2+5}{2}=\dfrac72}\)

III

La loi normale centrée réduite

Loi normale centrée réduite

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite notée \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(0;1\right)}\) si elle admet pour densité la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}}\)

La valeur de \(\displaystyle{p\left(X \leq a\right)}\) est égale à l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation \(\displaystyle{y = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi }} e^{-\frac{x^2}{2}}}\), l'axe des abscisses et la droite d'équation \(\displaystyle{x = a}\).

-

Si X suit la loi normale centrée réduite :

\(\displaystyle{p\left( -1,96\leqslant X\leqslant1,96 \right)\approx 0,95}\)

Espérance d'une loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, son espérance est :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = 0}\)

De façon similaire à ce que l'on voit en statistiques discrètes, on peut définir la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire continue par :

\(\displaystyle{V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left(E\left(X\right)\right)^2}\)

\(\displaystyle{\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}}\)

Variance d'une loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, sa variance vaut :

\(\displaystyle{V\left(X\right) = 1}\)

Si X suit la loi normale centrée réduite, l'écart-type de X noté \(\displaystyle{\sigma\left(X\right)}\) vaut 1.
IV

La loi normale générale

Loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\)

Une variable aléatoire X suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\) (\(\displaystyle{\mu \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{\sigma \in \mathbb{R}^{+*}}\)) si et seulement si la variable aléatoire \(\displaystyle{\dfrac{X-\mu}{\sigma}}\) suit la loi normale centrée réduite.

Espérance d'une loi normale

Si X suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\), son espérance vaut :

\(\displaystyle{E\left(X\right) = \mu}\)

Variance d'une loi normale

Si X suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\), sa variance vaut :

\(\displaystyle{V\left(X\right) = \sigma^2}\)

Si X suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\), son écart-type vaut \(\displaystyle{\sigma}\).
-

On observe que plus \(\displaystyle{\sigma}\) augmente, plus la courbe de la densité de la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\) est "aplatie". De plus, cette courbe est centrée sur la moyenne, c'est-à-dire la droite d'équation \(\displaystyle{x=\mu}\).

Si \(\displaystyle{\mu=0}\) et \(\displaystyle{\sigma=1}\), on retrouve la courbe de Gauss normalisée, soit la loi normale centrée réduite.

Valeurs remarquables de la loi normale

Si \(\displaystyle{X}\) suit la loi normale \(\displaystyle{\mathcal{N}\left(\mu;\sigma^2\right)}\), on a les valeurs remarquables suivantes :

\(\displaystyle{p\left(\mu - \sigma \leq X \leq\mu + \sigma\right) \approx 0,683}\)

\(\displaystyle{p\left(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma\right) \approx 0,954}\)

\(\displaystyle{p\left(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma\right) \approx 0,997}\)

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