Terminale L 2015-2016
Kartable
Terminale L 2015-2016

Les lois à densité

I

La densité de probabilité

Loi de probabilité continue et densité de probabilité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I=[a;b], positive et continue sur I, telle que :
baf(t) dt=1
Alors, en posant pour tout réel c de I :

p(X[a;c])=caf(t) dt

On définit une loi de probabilité continue sur I. La fonction f est une densité de probabilité de cette loi.

Considérons la fonction f définie pour tout réel x de [0;2] par f(x)=x2. f est continue et positive sur [0;2].
De plus, une primitive de f est la fonction F définie pour tout réel x de [0;2] par F(x)=x24. On a donc :

20f(x) dx=F(2)F(0)=440=1

f est donc une densité de probabilités sur [0;2].

Pour tout réel c de [0;2], on définit la loi de probabilité :

p(X[0;c])=c0f(x) dx

Soient a et b deux réels tels que ab :

p(X[a;b])=p(aXb)

Soient a et b deux réels tels que ab :

  • p(X[a;b])=p(X[a;b[)=p(X]a;b])=p(X]a;b[)
  • p(X[a;a])=p(X=a)=0

P(aXb)=P(Xb)P(Xa)

P(Xa)+P(X>a)=1

II

La loi uniforme sur [a;b]

Loi uniforme

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle [a;b] (a<b) si et seulement si elle admet pour densité la fonction f définie sur [a;b] par :

f(x)=1ba

Si X suit une loi uniforme sur l'intervalle [4;6], alors sa fonction de densité est la fonction f définie pour tout réel x de [4;6] par :

f(x)=164=12

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle [a;b], alors pour tous réels c et d tels que acdb :

p(cXd)=dcba

X suit la loi uniforme sur l'intervalle [2;5]. On a alors :

p(3X4)=4352=13

La valeur de p(X[c;d]) est égale à l'aire de la surface comprise entre la droite d'équation y=1ba, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=c et x=d.

-

Espérance d'une loi uniforme

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle [a;b], son espérance est alors égale à :

E(X)=a+b2

X suit la loi uniforme sur l'intervalle [2;5]. On a alors :

E(X)=2+52=72

III

La loi normale centrée réduite

Loi normale centrée réduite

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite notée (0;1) si elle admet pour densité la fonction f définie sur par :

f(x)=12πex22

La valeur de p(Xa) est égale à l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation y=12πex22, l'axe des abscisses et la droite d'équation x=a.

-

Si X suit la loi normale centrée réduite :

p(1,96X1,96)0,95

Espérance d'une loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, son espérance est :

E(X)=0

De façon similaire à ce que l'on voit en statistiques discrètes, on peut définir la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire continue par :

V(X)=E(X2)(E(X))2

σ(X)=V(X)

Variance d'une loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, sa variance vaut :

V(X)=1

Si X suit la loi normale centrée réduite, l'écart-type de X noté σ(X) vaut 1.

IV

La loi normale générale

Loi normale (μ;σ2)

Une variable aléatoire X suit la loi normale (μ;σ2) (μ, σ+) si et seulement si la variable aléatoire Xμσ suit la loi normale centrée réduite.

Espérance d'une loi normale

Si X suit la loi normale (μ;σ2), son espérance vaut :

E(X)=μ

Variance d'une loi normale

Si X suit la loi normale (μ;σ2), sa variance vaut :

V(X)=σ2

Si X suit la loi normale (μ;σ2), son écart-type vaut σ.

-

On observe que plus σ augmente, plus la courbe de la densité de la loi normale (μ;σ2) est "aplatie". De plus, cette courbe est centrée sur la moyenne, c'est-à-dire la droite d'équation x=μ.

Si μ=0 et σ=1, on retrouve la courbe de Gauss normalisée, soit la loi normale centrée réduite.

Valeurs remarquables de la loi normale

Si X suit la loi normale (μ;σ2), on a les valeurs remarquables suivantes :

p(μσXμ+σ)0,683

p(μ2σXμ+2σ)0,954

p(μ3σXμ+3σ)0,997

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