Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\left(x+3\right)e^{3x+4} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\left(3x+10\right)e^{3x+4} ?
F est une primitive de f sur \mathbb{R} si et seulement si pour tout réel x, on a F'\left(x\right)=f\left(x\right).
Or F est dérivable sur \mathbb{R} en tant que produit de fonctions dérivables.
On pose pour tout réel x :
u\left(x\right)=x+3 et v\left(x\right)=e^{3x+4}
On a :
u'\left(x\right)=1 et v'\left(x\right)=3e^{3x+4}
F=u\times v donc F'=u'v+uv'
Ainsi, pour tout réel x :
F'\left(x\right)= 1\times e^{3x+4} + \left(x+3\right)\times 3\times e^{3x+4}
F'\left(x\right)= e^{3x+4} \left(1+3x+9\right)
F'\left(x\right)= \left(3x+10\right)e^{3x+4}
F'\left(x\right)=f\left(x\right)
F est ainsi une primitive de f sur \mathbb{R}.
Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}\dfrac{e^x+3}{e^x+1} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2} ?
F est une primitive de f sur \mathbb{R} si et seulement si pour tout réel x, on a F'\left(x\right)=f\left(x\right).
Or F est dérivable sur \mathbb{R} en tant que quotient de fonctions dérivables.
On pose pour tout réel x :
u\left(x\right)=e^x+3 et v\left(x\right)=e^x+1
On a :
u'\left(x\right)=e^x et v'\left(x\right)=e^x
F=-\dfrac{1}{2}\dfrac{u}{v} donc F'=-\dfrac{1}{2}\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
Ainsi, pour tout réel x :
F'\left(x\right)= -\dfrac{1}{2}\dfrac{e^x\left(e^x+1\right)-\left(e^x+3\right)e^x}{\left(e^x+1\right)^2}
F'\left(x\right)= -\dfrac{1}{2}\dfrac{e^{2x}+e^x-e^{2x}-3e^x}{\left(e^x+1\right)^2}
F'\left(x\right)= -\dfrac{1}{2}\dfrac{-2e^x}{\left(e^x+1\right)^2}= \dfrac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}
F'\left(x\right)=f\left(x\right)
F est ainsi une primitive de f sur \mathbb{R}.
Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=\dfrac{1}{40}\left(2x^4-3\right)^5 est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^3\left(2x^4-3\right)^4 ?
F est une primitive de f sur \mathbb{R} si et seulement si pour tout réel x, on a F'\left(x\right)=f\left(x\right).
Or F est dérivable sur \mathbb{R} en tant que polynôme.
On pose pour tout réel x :
u\left(x\right)=2x^4-3.
On a :
u'\left(x\right)=2\times 4x^3=8x^3 et
F=\dfrac{1}{40}u^5 donc F'=\dfrac{1}{40}\times 5u^4\times u'
Ainsi, pour tout réel x :
F'\left(x\right)= \dfrac{1}{40}\times 5\left(2x^4-3\right)^4\times 8x^3
F'\left(x\right)= \dfrac{1}{40}\times 40\times \left(2x^4-3\right)^4\times x^3
F'\left(x\right)= \left(2x^4-3\right)^4\times x^3
F'\left(x\right)=f\left(x\right)
F est ainsi une primitive de f sur \mathbb{R}.
Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{3}{2} \right\} par F\left(x\right)=-\dfrac{1}{14\left(2x+3\right)^7} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{3}{2} \right\} par f\left(x\right)=\dfrac{1}{\left(2x+3\right)^8} ?
F est une primitive de f sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{3}{2} \right\} si et seulement si pour tout réel x\neq \dfrac{3}{2}, on a F'\left(x\right)=f\left(x\right).
Or F est dérivable en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas sur \mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{3}{2} \right\}.
On pose pour tout réel x :
u\left(x\right)=2x+3.
On a :
u'\left(x\right)=2 et
F=-\dfrac{1}{14}\dfrac{1}{u^7} donc F'=-\dfrac{1}{14}\times \dfrac{-7}{u^8}\times u'
Ainsi, pour tout réel x\in\mathbb{R}\backslash\left\{ -\dfrac{3}{2} \right\} :
F'\left(x\right)=-\dfrac{1}{14}\times \dfrac{-7}{\left(2x+3\right)^8}\times 2
F'=-\dfrac{1}{14}\times \dfrac{-14}{\left(2x+3\right)^8}
F'= \dfrac{1}{\left(2x+3\right)^8}
F'\left(x\right)=f\left(x\right)
F est ainsi une primitive de f sur \mathbb{R}.
Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R} par F\left(x\right)=-\dfrac{x^2+3}{x^2+1} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{4x}{\left(x^2+1\right)^2} ?
F est une primitive de f sur \mathbb{R} si et seulement si pour tout réel x, on a F'\left(x\right)=f\left(x\right).
Or F est dérivable sur \mathbb{R} en tant que quotient de fonctions dérivables.
On pose pour tout réel x :
u\left(x\right)=-\left(x^2+3\right)=-x^2-3 et v\left(x\right)=x^2+1.
On a :
u'\left(x\right)=-2x et v'\left(x\right)=2x.
F=\dfrac{u}{v} donc F'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}
Ainsi, pour tout réel x :
F'\left(x\right)= \dfrac{-2x\times \left(x^2+1\right)-\left(-x^2-3\right)\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2}
F'\left(x\right)= \dfrac{-2x^3-2x+2x^3+6x}{\left(x^2+1\right)^2}
F'\left(x\right)= \dfrac{4x}{\left(x^2+1\right)^2}
F'\left(x\right)=f\left(x\right)
F est ainsi une primitive de f sur \mathbb{R}.
Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \mathbb{R}^* par F\left(x\right)=\dfrac{x^6}{6}+x^3-\dfrac{x^2}{2}+7x-\dfrac{3}{x} est une primitive de la fonction f définie sur \mathbb{R}^* par f\left(x\right)=x^5+3x^2-x+7+\dfrac{3}{x^2} ?
F est une primitive de f sur \mathbb{R}^* si et seulement si pour tout réel x, on a F'\left(x\right)=f\left(x\right).
Or F est dérivable sur \mathbb{R}^* en tant que somme et différence de fonctions dérivables.
Ainsi, pour tout réel non nul x :
F'\left(x\right)= \dfrac{6x^5}{6}+3x^2-\dfrac{2x}{2}+7-3\times \dfrac{-1}{x^2}
F'\left(x\right)=x^5+3x^2-x+7+\dfrac{3}{x^2}
F'\left(x\right)=f\left(x\right)
F est ainsi une primitive de f sur \mathbb{R}.
Quelle proposition montre que la fonction F définie sur \left]0;+\infty\right[ par F\left(x\right)=\dfrac{x^4}{2}-e^x+4\ln\left(x\right) est une primitive de la fonction f définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=2x^3-e^x+\dfrac{4}{x} ?
F est une primitive de f sur \left]0;+\infty\right[ si et seulement si pour tout réel x, on a F'\left(x\right)=f\left(x\right).
Or F est dérivable sur \left]0;+\infty\right[ en tant que somme et différence de fonctions dérivables.
Ainsi, pour tout réel non nul x :
F'\left(x\right)= \dfrac{4x^3}{2}-e^x+4\times \dfrac{1}{x}
F'\left(x\right)=2x^3-e^x+\dfrac{4}{x}
F'\left(x\right)=f\left(x\right)
F est ainsi une primitive de f sur \mathbb{R}.