Sommaire
1Relever les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)} 2Déterminer les composantes du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} par dérivation 3Déterminer les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)} par dérivation Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 12/09/2020 - Conforme au programme 2019-2020
Les composantes des vecteurs vitesse et accélération se déduisent des composantes du vecteur position par dérivations successives.
Un mobile suit une trajectoire décrite par l'équation horaire \overrightarrow{OM}\left(t\right)=\left(25t\right)\overrightarrow{i}+\left(-5t^2+15t+3\right)\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}. En déduire les composantes des vecteurs vitesse et accélération.
Relever les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)}
On relève les composantes \left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right) du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)}.
Les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)} sont :
- x\left(t\right)=25t
- y\left(t\right)=-5t^2+15t+3
- z\left(t\right)=1
Déterminer les composantes du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} par dérivation
On détermine les composantes \left(v_{M_x}\left(t\right),v_{M_y}\left(t\right),v_{M_z}\left(t\right)\right) du vecteur vitesse \overrightarrow{v_M\left(t\right)} en dérivant les composantes du vecteur position par rapport au temps.
On sait que :
\overrightarrow{v_M\left(t\right)}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}
On détermine donc les composantes du vecteur vitesse :
- v_x\left(t\right)=\dfrac{dx}{dt}=25
- v_y\left(t\right)=\dfrac{dy}{dt}=-10t+15
- v_z\left(t\right)=\dfrac{dz}{dt}=0
Déterminer les composantes du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)} par dérivation
On détermine les composantes \left(a_{M_x}\left(t\right),a_{M_y}\left(t\right),a_{M_z}\left(t\right)\right) du vecteur accélération \overrightarrow{a_M\left(t\right)} en dérivant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps.
De plus, on sait que :
\overrightarrow{a_M\left(t\right)}=\dfrac{d\overrightarrow{v_M}}{dt}
On obtient donc les composantes du vecteur accélération :
- a_x\left(t\right)=\dfrac{dv_x}{dt}=0
- a_y\left(t\right)=\dfrac{dv_y}{dt}=-10
- a_z\left(t\right)=\dfrac{dv_z}{dt}=0