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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
L'équation de la trajectoire est l'équation qui permet de définir la trajectoire du système en exprimant une coordonnée en fonction des autres. Elle se détermine à partir des composantes du vecteur position.
Le lancer d'une balle est prévisible par l'équation de la position de son centre d'inertie respectant cette équation :
\overrightarrow{OM\left(t\right)}=\left(v_0\cos\left(\alpha\right)\times t\right)\overrightarrow{i}+\left(-\dfrac{1}{2}g\times t^2+v_0\sin\left(\alpha \right) \times t\right) \overrightarrow{j}.
Déterminer l'équation de la trajectoire à partir de l'équation horaire du mouvement.
Relever les composantes du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)}
On relève les composantes \left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right) du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)}.
Les composantes \left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right) du vecteur position \overrightarrow{OM\left(t\right)} donné dans l'énoncé s'écrivent :
- x\left(t\right)=v_0\cos\left( \alpha\right)\times t
- y\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}g\times t^2+v_0 \sin\left(\alpha\right)\times t
- z\left(t\right)=0
Exprimer la variable de temps en fonction d'une variable d'espace dans l'une des composantes
On exprime le temps t en fonction d'une des variables d'espace pour une des composantes :
- Si l'on choisit la composante x\left(t\right), on exprime le temps t en fonction de la position x.
- Si l'on choisit la composante y\left(t\right), on exprime le temps t en fonction de la position y.
- Si l'on choisit la composante z\left(t\right), on exprime le temps t en fonction de la position z.
On choisit x\left(t\right), l'expression la plus simple, pour exprimer le temps t :
t=\dfrac{x}{v_0\cos\left( \alpha\right)}
Remplacer la variable de temps dans les autres composantes par son expression
On remplace le temps t par son expression en fonction d'une variable d'espace dans l'expression des deux autres composantes.
On remplace le temps t par son expression dans la composante y\left(t\right) :
y\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{x}{v_0\cos\left(\alpha \right)}\right)^2+v_0\sin\left(\alpha \right)\times\left(\dfrac{x}{v_0\cos\left(\alpha \right)}\right)
y\left(x\right)=-\dfrac{g}{2v_0^2\cos^2\left(\alpha \right)}x^2+\tan\left(\alpha \right)x
Par ailleurs, ici, on a :
z\left(x\right)=0
Conclure en exprimant l'équation de la trajectoire
On conclut en donnant l'équation de la trajectoire. Il peut s'agir de l'équation :
- y\left(x\right) ou z\left(x\right) si on exprime le temps en fonction de la variable x.
- x\left(y\right) ou z\left(y\right) si on exprime le temps en fonction de la variable y.
- x\left(z\right) ou y\left(z\right) si on exprime le temps en fonction de la variable z.
L'équation de la trajectoire est une fonction polynôme de degré 2 de type y\left(t\right)=ax^2+bx+c. La trajectoire de la balle est une portion de parabole.