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Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération à partir de la position

Les composantes des vecteurs vitesse et accélération se déduisent des composantes du vecteur position par dérivations successives.

Un mobile suit une trajectoire décrite par l'équation horaire \(\displaystyle{\overrightarrow{OM}\left(t\right)=\left(25t\right)\overrightarrow{i}+\left(-5t^2+15t+3\right)\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}}\). En déduire les composantes des vecteurs vitesse et accélération.

Etape 1

Relever les composantes du vecteur position \(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}}\)

On relève les composantes \(\displaystyle{\left(x\left(t\right), y\left(t\right), z\left(t\right)\right)}\) du vecteur position \(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}}\).

Les composantes du vecteur position \(\displaystyle{\overrightarrow{OM\left(t\right)}}\) sont :

  • \(\displaystyle{ x\left(t\right)=25t }\)
  • \(\displaystyle{y\left(t\right)=-5t^2+15t+3 }\)
  • \(\displaystyle{z\left(t\right)=1}\)
Etape 2

Déterminer les composantes du vecteur vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow{v_M\left(t\right)}}\) par dérivation

On détermine les composantes \(\displaystyle{\left(v_{M_x}\left(t\right),v_{M_y}\left(t\right),v_{M_z}\left(t\right)\right)}\) du vecteur vitesse \(\displaystyle{\overrightarrow{v_M\left(t\right)}}\) en dérivant les composantes du vecteur position par rapport au temps.

On sait que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{v_M\left(t\right)}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}}\)

On détermine donc les composantes du vecteur vitesse :

  • \(\displaystyle{v_x\left(t\right)=\dfrac{dx}{dt}=25}\)
  • \(\displaystyle{v_y\left(t\right)=\dfrac{dy}{dt}=-10t+15 }\)
  • \(\displaystyle{ v_z\left(t\right)=\dfrac{dz}{dt}=0 }\)
Etape 3

Déterminer les composantes du vecteur accélération \(\displaystyle{\overrightarrow{a_M\left(t\right)}}\) par dérivation

On détermine les composantes \(\displaystyle{\left(a_{M_x}\left(t\right),a_{M_y}\left(t\right),a_{M_z}\left(t\right)\right)}\) du vecteur accélération \(\displaystyle{\overrightarrow{a_M\left(t\right)}}\) en dérivant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps.

De plus, on sait que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{a_M\left(t\right)}=\dfrac{d\overrightarrow{v_M}}{dt}}\)

On obtient donc les composantes du vecteur accélération :

  • \(\displaystyle{ a_x\left(t\right)=\dfrac{dv_x}{dt}=0}\)
  • \(\displaystyle{a_y\left(t\right)=\dfrac{dv_y}{dt}=-10 }\)
  • \(\displaystyle{ a_z\left(t\right)=\dfrac{dv_z}{dt}=0}\)

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