Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et position à partir de l'accélération

Les composantes des vecteurs vitesse et position se déduisent des composantes du vecteur accélération par intégrations successives.

Une pomme tombe d'un arbre sans vitesse initiale en subissant l'accélération de pesanteur g. Déterminer les composantes de aM(t), vM(t) et OM(t) pour chaque instant t.

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Etape 1

Relever les composantes du vecteur accélération aM(t)

On relève les composantes (aMx(t),aMy(t),aMz(t)) du vecteur accélération aM(t).

La pomme ne subit que l'accélération de pesanteur g dirigée selon (Oz), on obtient les coordonnées de aM(t) :

  • ax(t)=0
  • ay(t)=0
  • az(t)=g
Etape 2

Déterminer les composantes du vecteur vitesse vM(t) par intégration

On détermine les composantes (vMx(t),vMy(t),vMz(t)) du vecteur vitesse vM(t) en intégrant les composantes du vecteur accélération par rapport au temps.

Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur vitesse vM(t) :

  • vx(t)=v0x
  • vy(t)=v0y
  • vz(t)=gt+v0z

La pomme n'ayant pas de vitesse initiale, on sait que :

v0x=v0y=v0z=0

Ainsi :

  • vx(t)=0
  • vy(t)=0
  • vz(t)=gt
Etape 3

Déterminer les composantes du vecteur position OM(t)

On détermine les composantes (x(t),y(t),z(t)) du vecteur position OM(t) en intégrant les composantes du vecteur vitesse par rapport au temps.

Par intégration, on obtient les coordonnées du vecteur position OM(t) à partir de VM(t) :

  • x(t)=x0
  • y(t)=y0
  • z(t)=12gt2+z0

À l'instant initial, la pomme était en (0,0,h). Les composantes du vecteur position OM(t) sont donc :

  • x(t)=0
  • y(t)=0
  • z(t)=12gt2+h
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