ArithmétiqueCours

I

Multiple et diviseur

A

Multiple

Multiple

Soient a et b deux entiers relatifs. 

a est un multiple de b si et seulement si on peut obtenir a en multipliant b par un autre entier relatif.

Autrement dit :

a est un multiple de b si et seulement si il existe un entier relatif k tel que  a=kb.

  • 6=2\times3  donc 6 est un multiple de 2 et de 3.
  • 4=-4\times1  donc 4 est un multiple de −4 et de −1.
  • −8, 4, 8, 12, 16 sont tous des multiples de 2.

Tout entier relatif est un multiple de 1 et de lui-même.

En effet, si a est un entier relatif, on peut écrire :  a=1\times a.

0 est un multiple de tout entier relatif.

En effet, si a est un entier relatif, on peut écrire :  0=0\times a.

Soit a un nombre entier relatif.

La somme de deux multiples de a est un multiple de a.

Soit a un entier relatif.

Si b est un entier relatif multiple de a, par définition il existe un entier relatif k tel que b=ka.

De même, si c est un entier relatif multiple de a, alors il existe un entier relatif k' tel que c=k'a.

On a donc : b+c=ka+k'a=(k+k')a.

Or,  k+k' est un entier relatif, car la somme de deux entiers relatifs est toujours un entier relatif.

Donc la somme b+c peut s'écrire comme le produit de a par un entier relatif. Autrement dit b+c est un multiple de a.

6 est un multiple de 3 et 9 est aussi un multiple de 3.

La somme 9+6=15 est également un multiple de 3.

−33 et 102 sont deux multiples de 3, donc la somme -33 + 102 = 69 est aussi un multiple de 3.

B

Diviseur

Soit a et b deux entiers relatifs.

a est un diviseur de b si et seulement si il existe un entier relatif k tel que b=ka.

On dit aussi que a divise b.

  • 6=2\times3  donc 2 et 3 sont des diviseurs de 6.
  • -4=-4\times1  donc 1 et −4 sont des diviseurs de 4.
  • 30=2\times3\times5  donc 2, 3 et 5 sont des diviseurs de 30.

Soit a et b sont deux entiers relatifs, avec a non nul.

a est un diviseur de b si et seulement si le quotient \dfrac{b}{a} est un nombre entier relatif.

Soient a et b deux entiers relatifs.

 a est un multiple de b si et seulement si b est un diviseur de a.

6=2\times3

6 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de 6.

Tout entier relatif admet comme diviseurs 1 et lui-même.

En effet, si a est un entier relatif, on peut écrire : a=a \times 1.

C

Nombres pairs

Nombre pair

On dit qu'un entier relatif est pair si et seulement si c'est un multiple de 2.

Un entier relatif n est pair si et seulement si il existe un entier relatif k tel que n=2k.

Le carré d'un nombre pair est pair.

Soit n un entier relatif pair.

Alors il existe un entier relatif k tel que n=2k.

On a donc n^2=(2k)^2=2^2k^2=2\times2k^2.

Or,  2k^2 est un nombre entier relatif. 

Donc n^2 est le produit d'un nombre entier relatif par 2, donc n^2 est pair.

D

Nombres impairs

Nombre impair

On dit qu'un entier relatif est impair si et seulement si ce n'est pas un multiple de 2.

Un entier relatif n est impair si et seulement si il existe un entier relatif k tel que :

n=2k+1

Le carré d'un nombre impair est impair.

Soit n un entier relatif impair.

Il existe un entier relatif k tel que  n=2k+1.

On a donc n^2=(2k+1)^2.

On développe cette expression en utilisant les identités remarquables :

n^2=(2k+1)^2=(2k)^2+2\times2k+1=4k^2+4k+1

Dans les deux premiers termes de cette somme, on peut mettre 2 en facteur et on obtient :

n^2=2(2k^2+2k)+1

Or,  2k^2+2k est un nombre entier relatif. En posant q=2k^2+2k, on obtient 

n^2=2q+1 q est un entier relatif.

Donc n^2 est impair.

II

Nombres premiers

Dans cette section, tous les nombres considérés sont des entiers naturels. Autrement dit, on ne considère que des entiers positifs.

Nombre premier

Un nombre premier est un entier naturel différent de 1 qui n'a pas d'autres diviseurs que 1 et lui-même.

3 est premier car il n'est divisible que par 1 et par lui-même.

6 n'est pas premier car il est divisible par 1, 2, 3 et 6.

La liste des nombres premiers commence par les nombres suivants : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Pour déterminer si un nombre n est premier ou non, il suffit de tester les entiers (différents de 1) plus petits que \sqrt{n}.

En effet, soit n un entier relatif non nul et d un diviseur de n. Deux cas sont possibles :

Cas 1

d \leq \sqrt{n}

Dans ce cas, la propriété est déjà vérifiée.

Cas 2

d \gt \sqrt{n}

Dans ce cas, il existe un entier relatif d' tel que n=d\times d'. Ainsi, d' est aussi un diviseur de n.

Or, d'=\dfrac{n}{d}=n\times \dfrac{1}{d} et comme d\gt \sqrt{n} \gt 0, \dfrac{1}{d}\lt \dfrac{1}{\sqrt{n}}.

On a donc n\times \dfrac{1}{d}\lt n\times \dfrac{1}{\sqrt{n}}.

De plus, n\times \dfrac{1}{\sqrt{n}}= \dfrac{\sqrt{n}\times \sqrt{n}}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}.

Donc d'\lt \sqrt{n}.

Dans tous les cas, on a obligatoirement un diviseur de n inférieur ou égal à \sqrt{n}.

Dans tous les cas, si le nombre n est non premier, il a un diviseur inférieur à \sqrt{n}.