Les intégrales Cours

I

Aires et intégrales

Soit un repère orthogonal \(\displaystyle{\left(O ; I ; J\right)}\).
On appelle unité d'aire l'aire du rectangle \(\displaystyle{OIAJ}\), où A est le point de coordonnées \(\displaystyle{\left( 1;1 \right)}\).

-
A

Intégrale d'une fonction continue positive

Intégrale d'une fonction continue positive

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction continue et positive sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et \(\displaystyle{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe \(\displaystyle{C}\), l'axe des abscisses, et les droites d'équation \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = b}\).

-

Les réels a et b sont appelés bornes d'intégration.

B

Intégrale d'une fonction continue négative

Intégrale d'une fonction continue négative

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction continue et négative sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et \(\displaystyle{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\) de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe \(\displaystyle{C}\), l'axe des abscisses, et les droites d'équation \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = b}\).

-
C

Intégrale d'une fonction continue

Intégrale d'une fonction continue

Soit f une fonction continue sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à la différence entre la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est positive, et la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe et l'axe des abscisses lorsque f est négative.
Les surfaces utilisées sont comprises entre les abscisses a et b, et les aires sont exprimées en unités d'aires.

-

Sur le schéma ci-dessus, on a :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=A_1-A_2}\)

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a\lt b}\). Alors, on pose :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = -\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

Aire entre deux courbes

Soient f et g deux fonctions continues sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) avec \(\displaystyle{f\gt g}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\). L'aire située entre les courbes de f et g sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}\left( f\left(x\right)-g\left(x\right) \right) \ \mathrm dx}\)

Soient f et g deux fonctions continues et définies sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=7x-8}\) et \(\displaystyle{g\left(x\right)=x^2-3x+1}\).

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)=7x-8-\left(x^2-3x+1\right)}\)

\(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)=-x^2+10x-9}\)

On détermine le signe de ce trinôme du second degré.

\(\displaystyle{\Delta=10^2-4\times \left(-1\right)\times\left(-9\right)=100-36=64=8^2}\)

Le trinôme est donc du signe de a (négatif) à l'extérieur des racines, et positif à l'intérieur des racines. On calcule les racines \(\displaystyle{x_1}\) et \(\displaystyle{x_2}\) :

  • \(\displaystyle{x_1=\dfrac{-10-8}{-2}=9}\)
  • \(\displaystyle{x_2=\dfrac{-10+8}{-2}=1}\)

Ainsi, pour tout réel x appartenant à \(\displaystyle{\left[ 1;9 \right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)\geqslant0}\). En particulier, pour tout réel x appartenant à \(\displaystyle{\left[1;2\right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)\geqslant0}\). Ainsi, pour tout réel x appartenant à \(\displaystyle{\left[1;2\right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) \geqslant g\left(x\right)}\).

L'aire entre les courbes représentatives de f et g sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[1;2\right]}\) est donc donnée par l'intégrale suivante :

\(\displaystyle{\int_{1}^{2}\left( f\left(x\right)-g\left(x\right) \right)\ \mathrm dx=\int_{1}^{2}\left( -x^2+10x-9 \right)\ \mathrm dx}\)

D

La valeur moyenne d'une fonction

Valeur moyenne d'une fonction

On appelle valeur moyenne de \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\) le réel :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

Considérons la fonction f continue et définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=7x-2}\). Sa valeur moyenne sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[2;5\right]}\) est donnée par le nombre :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{5-2}\int_{2}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac13\int_{2}^{5} \left(7x-2\right) \ \mathrm dx}\)

II

Les propriétés de l'intégrale

A

Les propriétés algébriques

Soient f une fonction continue sur un intervalle I. a et b deux réels de I, et k un réel quelconque.

\(\displaystyle{\int_{a}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0}\)

\(\displaystyle{\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = - \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} kf\left(x\right) \ \mathrm dx = k \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{\int_{5}^{5} 3x^8 \ \mathrm dx=0}\)

\(\displaystyle{\int_{4}^{1} e^x\ \mathrm dx=-\int_{1}^{4} e^x \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{4} 5e^x\ \mathrm dx=5\int_{1}^{4} e^x \ \mathrm dx}\)

Relation de Chasles :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. a, b et c sont trois réels de I.

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \int_{a}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \int_{c}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{1}^{25} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{25}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

Linéarité de l'intégrale :

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. a, b et c sont trois réels de I, et \(\displaystyle{\alpha}\) et \(\displaystyle{\beta}\) deux réels quelconques.

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} \left(\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right) \ \mathrm dx = \alpha \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \beta \int_{a}^{b} g\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{3} \dfrac{3x^5+2x}{x+1} \ \mathrm dx=\int_{1}^{3} \left[ \dfrac{3x^5}{x+1}+\dfrac{2x}{x+1} \right] \ \mathrm dx=3\int_{1}^{3} \dfrac{x^5}{x+1} \ \mathrm dx+2\int_{1}^{3} \dfrac{x}{x+1} \ \mathrm dx}\)

B

Intégrales de fonctions paires, impaires, périodiques

Si \(\displaystyle{f}\) est une fonction paire et continue sur un intervalle \(\displaystyle{I}\), alors pour tout réel \(\displaystyle{a}\) de \(\displaystyle{I}\) tel que \(\displaystyle{- a}\) appartient à \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{\int_{-a}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 2\int_{0}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

-

La fonction \(\displaystyle{x\longmapsto x^2}\) est paire donc :

\(\displaystyle{\int_{-6}^{6} x^2 \ \mathrm dx=2\int_{0}^{6} x^2 \ \mathrm dx}\)

Si \(\displaystyle{f}\) est une fonction impaire et continue sur un intervalle \(\displaystyle{I}\), alors pour tout réel \(\displaystyle{a}\) de \(\displaystyle{I}\) tel que \(\displaystyle{- a}\) appartient à \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{\int_{-a}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0}\)

-

La fonction \(\displaystyle{x\longmapsto x^3}\) est impaire donc :

\(\displaystyle{\int_{-6}^{6} x^3 \ \mathrm dx=0}\)

Si \(\displaystyle{f}\) est une fonction périodique de période \(\displaystyle{T}\) et continue sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), alors pour tout réel \(\displaystyle{a}\) :

\(\displaystyle{\int_{0}^{T}f\left(x\right) \ \mathrm dx =\int_{a}^{a+T}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

-

La fonction \(\displaystyle{x\longmapsto \cos\left(x\right)}\) est \(\displaystyle{2\pi}\) -périodique, donc :

\(\displaystyle{\int_{0}^{2\pi} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{\pi}^{3\pi} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

C

Ordre et intégration

Positivité de l'intégrale :

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a\lt b}\).

Si \(\displaystyle{f\left(x\right) \geq 0}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \geq 0}\)

La fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2+1}\) est positive et continue sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[3;5\right]}\), donc :

\(\displaystyle{\int_{3}^{5} \left(x^2+1\right)\ \mathrm dx\geq0}\)

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a \leq b}\).

Si \(\displaystyle{f\left(x\right) \leq g\left(x\right)}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

Pour tout réel \(\displaystyle{x\in \left[3;5\right]}\), \(\displaystyle{e^x\geq x}\). Ces deux fonctions étant continues sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) :

\(\displaystyle{\int_{3}^{5} e^x \ \mathrm dx\geq\int_{3}^{5} x \ \mathrm dx}\)

Inégalité de la moyenne

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a\lt b}\). Soient m et M deux réels tels que \(\displaystyle{m\leqslant f\left(x\right)\leqslant M}\) sur I. Alors :

\(\displaystyle{m\left(b-a\right)\leq\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right)}\)

Pour tout réel \(\displaystyle{x\in \left[3;5\right]}\), \(\displaystyle{20\leq e^x \leq149}\) donc :

\(\displaystyle{20\left(5-3\right)\leq\int_{3}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 149\left(5-3\right)}\)

Soit :

\(\displaystyle{40\leq\int_{3}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 298}\)

III

Primitives et intégrales

A

Relation entre primitives et intégrales

Intégrale

Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I, a et b deux réels de I :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = F\left(b\right) - F\left(a\right)}\)

Soit f la fonction continue, et définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x+1}\). F est définie pour tout réel x par \(\displaystyle{F\left(x\right)=\dfrac32x^2+x}\). Soit F une primitive de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

On a :

\(\displaystyle{\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(1\right)=\left( \dfrac32\times2^2+2 \right)-\left( \dfrac32\times1^2+1 \right)=\dfrac{11}{2}}\)

\(\displaystyle{F\left(b\right) - F\left(a\right)}\) se note aussi \(\displaystyle{ \left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}}\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{2} x \ \mathrm dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \dfrac{2^2}{2} - \dfrac{1^2}{2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}}\)
B

Primitive qui s'annule en \(\displaystyle{a}\)

Primitive qui s'annule en \(\displaystyle{a}\)

Soit f une fonction continue sur I, et a un réel de I. La fonction F définie ci-après pour tout x de I est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a :

\(\displaystyle{F\left(x\right) =\int_{a}^{x}f\left(t\right) \ \mathrm dt}\)

Soit f une fonction continue sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+1}\). La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en 0 :

\(\displaystyle{F\left(x\right) =\int_{0}^{x}\left(2t+1\right) \ \mathrm dt=\left[ t^2+t \right]_0^x=\left(x^2+x\right)-\left(0^2+0\right)=x^2+x}\)

Sommaire

IAires et intégralesAIntégrale d'une fonction continue positiveBIntégrale d'une fonction continue négativeCIntégrale d'une fonction continueDLa valeur moyenne d'une fonctionIILes propriétés de l'intégraleALes propriétés algébriquesBIntégrales de fonctions paires, impaires, périodiquesCOrdre et intégrationIIIPrimitives et intégralesARelation entre primitives et intégralesBPrimitive qui s'annule en \(\displaystyle{a}\)