Les intégralesCours

I

Aires et intégrales

Soit un repère orthogonal \left(O ; I ; J\right).
On appelle unité d'aire l'aire du rectangle OIAJ, où A est le point de coordonnées \left( 1;1 \right).

-
A

Intégrale d'une fonction continue positive

Intégrale d'une fonction continue positive

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b.

-

Les réels a et b sont appelés bornes d'intégration.

B

Intégrale d'une fonction continue négative

Intégrale d'une fonction continue négative

Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b.

-
C

Intégrale d'une fonction continue

Intégrale d'une fonction continue

Soit f une fonction continue sur un intervalle \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à la différence entre la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est positive, et la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe et l'axe des abscisses lorsque f est négative.
Les surfaces utilisées sont comprises entre les abscisses a et b, et les aires sont exprimées en unités d'aires.

-

Sur le schéma ci-dessus, on a :

\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=A_1-A_2

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I tels que a\lt b. Alors, on pose :

\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = -\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx

Aire entre deux courbes

Soient f et g deux fonctions continues sur \left[a ; b\right] avec f\gt g sur \left[a ; b\right]. L'aire située entre les courbes de f et g sur \left[a ; b\right] est égale à :

\int_{a}^{b}\left( f\left(x\right)-g\left(x\right) \right) \ \mathrm dx

Soient f et g deux fonctions continues et définies sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=7x-8 et g\left(x\right)=x^2-3x+1.

Pour tout réel x :

f\left(x\right)-g\left(x\right)=7x-8-\left(x^2-3x+1\right)

f\left(x\right)-g\left(x\right)=-x^2+10x-9

On détermine le signe de ce trinôme du second degré.

\Delta=10^2-4\times \left(-1\right)\times\left(-9\right)=100-36=64=8^2

Le trinôme est donc du signe de a (négatif) à l'extérieur des racines, et positif à l'intérieur des racines. On calcule les racines x_1 et x_2 :

  • x_1=\dfrac{-10-8}{-2}=9
  • x_2=\dfrac{-10+8}{-2}=1

Ainsi, pour tout réel x appartenant à \left[ 1;9 \right], f\left(x\right)-g\left(x\right)\geqslant0. En particulier, pour tout réel x appartenant à \left[1;2\right], f\left(x\right)-g\left(x\right)\geqslant0. Ainsi, pour tout réel x appartenant à \left[1;2\right], f\left(x\right) \geqslant g\left(x\right).

L'aire entre les courbes représentatives de f et g sur l'intervalle \left[1;2\right] est donc donnée par l'intégrale suivante :

\int_{1}^{2}\left( f\left(x\right)-g\left(x\right) \right)\ \mathrm dx=\int_{1}^{2}\left( -x^2+10x-9 \right)\ \mathrm dx

D

La valeur moyenne d'une fonction

Valeur moyenne d'une fonction

On appelle valeur moyenne de f sur \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right) le réel :

\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx

Considérons la fonction f continue et définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=7x-2. Sa valeur moyenne sur l'intervalle \left[2;5\right] est donnée par le nombre :

\dfrac{1}{5-2}\int_{2}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac13\int_{2}^{5} \left(7x-2\right) \ \mathrm dx

II

Les propriétés de l'intégrale

A

Les propriétés algébriques

Soient f une fonction continue sur un intervalle I. a et b deux réels de I, et k un réel quelconque.

\int_{a}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0

\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = - \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

\int_{a}^{b} kf\left(x\right) \ \mathrm dx = k \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

\int_{5}^{5} 3x^8 \ \mathrm dx=0

\int_{4}^{1} e^x\ \mathrm dx=-\int_{1}^{4} e^x \ \mathrm dx

\int_{1}^{4} 5e^x\ \mathrm dx=5\int_{1}^{4} e^x \ \mathrm dx

Relation de Chasles :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. a, b et c sont trois réels de I.

\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \int_{a}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \int_{c}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx

\int_{1}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{1}^{25} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{25}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx

Linéarité de l'intégrale :

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. a, b et c sont trois réels de I, et \alpha et \beta deux réels quelconques.

\int_{a}^{b} \left(\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right) \ \mathrm dx = \alpha \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \beta \int_{a}^{b} g\left(x\right) \ \mathrm dx

\int_{1}^{3} \dfrac{3x^5+2x}{x+1} \ \mathrm dx=\int_{1}^{3} \left[ \dfrac{3x^5}{x+1}+\dfrac{2x}{x+1} \right] \ \mathrm dx=3\int_{1}^{3} \dfrac{x^5}{x+1} \ \mathrm dx+2\int_{1}^{3} \dfrac{x}{x+1} \ \mathrm dx

B

Intégrales de fonctions paires, impaires, périodiques

Si f est une fonction paire et continue sur un intervalle I, alors pour tout réel a de I tel que - a appartient à I :

\int_{-a}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 2\int_{0}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx

-

La fonction x\longmapsto x^2 est paire donc :

\int_{-6}^{6} x^2 \ \mathrm dx=2\int_{0}^{6} x^2 \ \mathrm dx

Si f est une fonction impaire et continue sur un intervalle I, alors pour tout réel a de I tel que - a appartient à I :

\int_{-a}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0

-

La fonction x\longmapsto x^3 est impaire donc :

\int_{-6}^{6} x^3 \ \mathrm dx=0

Si f est une fonction périodique de période T et continue sur \mathbb{R}, alors pour tout réel a :

\int_{0}^{T}f\left(x\right) \ \mathrm dx =\int_{a}^{a+T}f\left(x\right) \ \mathrm dx

-

La fonction x\longmapsto \cos\left(x\right) est 2\pi -périodique, donc :

\int_{0}^{2\pi} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{\pi}^{3\pi} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx

C

Ordre et intégration

Positivité de l'intégrale :

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que a\lt b.

Si f\left(x\right) \geq 0 sur \left[a ; b\right], alors \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \geq 0

La fonction f\left(x\right)=x^2+1 est positive et continue sur l'intervalle \left[3;5\right], donc :

\int_{3}^{5} \left(x^2+1\right)\ \mathrm dx\geq0

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que a \leq b.

Si f\left(x\right) \leq g\left(x\right) sur \left[a ; b\right], alors \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx

Pour tout réel x\in \left[3;5\right], e^x\geq x. Ces deux fonctions étant continues sur \mathbb{R} :

\int_{3}^{5} e^x \ \mathrm dx\geq\int_{3}^{5} x \ \mathrm dx

Inégalité de la moyenne

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que a\lt b. Soient m et M deux réels tels que m\leqslant f\left(x\right)\leqslant M sur I. Alors :

m\left(b-a\right)\leq\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right)

Pour tout réel x\in \left[3;5\right], 20\leq e^x \leq149 donc :

20\left(5-3\right)\leq\int_{3}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 149\left(5-3\right)

Soit :

40\leq\int_{3}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 298

III

Primitives et intégrales

A

Relation entre primitives et intégrales

Intégrale

Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I, a et b deux réels de I :

\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = F\left(b\right) - F\left(a\right)

Soit f la fonction continue, et définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=3x+1. F est définie pour tout réel x par F\left(x\right)=\dfrac32x^2+x. Soit F une primitive de f sur \mathbb{R}.

On a :

\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(1\right)=\left( \dfrac32\times2^2+2 \right)-\left( \dfrac32\times1^2+1 \right)=\dfrac{11}{2}

F\left(b\right) - F\left(a\right) se note aussi \left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}

\int_{1}^{2} x \ \mathrm dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \dfrac{2^2}{2} - \dfrac{1^2}{2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}
B

Primitive qui s'annule en a

Primitive qui s'annule en a

Soit f une fonction continue sur I, et a un réel de I. La fonction F définie ci-après pour tout x de I est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a :

F\left(x\right) =\int_{a}^{x}f\left(t\right) \ \mathrm dt

Soit f une fonction continue sur \mathbb{R}, définie par f\left(x\right)=2x+1. La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en 0 :

F\left(x\right) =\int_{0}^{x}\left(2t+1\right) \ \mathrm dt=\left[ t^2+t \right]_0^x=\left(x^2+x\right)-\left(0^2+0\right)=x^2+x