Calculer une intégrale Exercice

Soit f la fonction définie sur \left[0;1\right] par f\left(x\right)=2x^3-11x. On détermine F une primitive de f.

On a, pour tout réel x appartenant à \left[0;1\right] :

F\left(x\right)=2\times \dfrac{x^4}{4}-11\times \dfrac{x^2}{2}=\dfrac{x^4-11x^2}{2}

On sait que :

\int_{0}^{1} 2x^3-11x \ \mathrm dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)

\int_{0}^{1} 2x^3-11x \ \mathrm dx=\dfrac{1^4-11\times 1^2}{2}-\dfrac{0^4-11\times 0}{2}

\int_{0}^{1} 2x^3-11x \ \mathrm dx=\dfrac{1-11}{2}

\int_{0}^{1} 2x^3-11x \ \mathrm dx=-5

Soit f la fonction définie sur \left[0;1\right] par f\left(x\right)=\dfrac{\ln\left(x+3\right)}{x+3}. On souhaite déterminer une primitive F de f.

Pour cela on pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;1\right], u\left(x\right)=\ln\left(x+3\right). On a alors u'\left(x\right)=\dfrac{1}{x+3} et par conséquent,

f=u\times u'.

Une primitive de f est alors F=\dfrac{u^2}{2} et donc pour tout x de l'intervalle \left[0;1\right],

F\left(x\right)=\dfrac{\left(\ln\left(x+3\right)\right)^2}{2}.

On sait que :

\int_{0}^{1}\dfrac{\ln\left(x+3\right)}{x+3} \ \mathrm dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)=\left[ F\left(x\right) \right]_{0}^{1}=\left[ \dfrac{\left(\ln\left(x+3\right)\right)^2}{2}\right]_{0}^{1}

I=\dfrac{\left(\ln\left(1+3\right)\right)^2}{2}-\dfrac{\left(\ln\left(0+3\right)\right)^2}{2}=\dfrac{\left(\ln\left(4\right)\right)^2}{2}-\dfrac{\left(\ln\left(3\right)\right)^2}{2}.

Soit f la fonction définie sur \left[0;2\right] par f\left(x\right)=\left(2x-5\right)^6. On souhaite déterminer une primitive F de f.

Pour cela on pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], u\left(x\right)=2x-5. On a alors u'\left(x\right)=2 et par conséquent,

f=\dfrac{1}{2}\times u^6\times u'.

Une primitive de f est alors F=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u^7}{7}=\dfrac{u^7}{14} et donc pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right],

F\left(x\right)=\dfrac{\left(2x-5\right)^7}{14}.

On sait que :

I=\int_{0}^{2}\left(2x-5\right)^6 \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(0\right)=\left[ F\left(x\right) \right]_{0}^{2}=\left[ \dfrac{\left(2x-5\right)^7}{14}\right]_{0}^{2}

I=\dfrac{\left(2\times 2-5\right)^7}{14}-\dfrac{\left(2\times 0-5\right)^7}{14}=\dfrac{\left(-1\right)^7}{14}-\dfrac{\left(-5\right)^7}{14}=\dfrac{-1+5^7}{14}=\dfrac{78\ 124}{14}=\dfrac{39\ 062}{7}.

Soit f la fonction définie sur \left[-1;3\right] par f\left(x\right)=\dfrac{1}{x+5}. On souhaite déterminer une primitive F de f.

Pour cela on pose, pour tout x de l'intervalle \left[-1;3\right], u\left(x\right)=x+5. On a alors u'\left(x\right)=1 et par conséquent,

f=\dfrac{u'}{u}.

Une primitive de f est alors F=\ln\left(u\right) et donc pour tout x de l'intervalle \left[-1;3\right],

F\left(x\right)=\ln\left(x+5\right).

On sait que :

I=\int_{-1}^{3}\dfrac{1}{x+5} \ \mathrm dx=F\left(3\right)-F\left(-1\right)=\left[ F\left(x\right) \right]_{-1}^{3}=\left[ \ln\left(x+5\right)\right]_{-1}^{3}

I=\ln\left(3+5\right)-\ln\left(-1+5\right)=\ln\left(8\right)-\ln\left(4\right)=ln\left( \dfrac{8}{4} \right)=\ln\left(2\right).

Soit f la fonction définie sur \left[0;2\right] par f\left(x\right)=e^{-x-3}. On souhaite déterminer une primitive F de f.

Pour cela on pose, pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right], u\left(x\right)=-x-3. On a alors u'\left(x\right)=-1 et par conséquent,

f=-u'\times e^{u}.

Une primitive de f est alors F=-e^u et donc pour tout x de l'intervalle \left[0;2\right],

F\left(x\right)=-e^{-x-3}.

On sait que :

I=\int_{0}^{2}e^{-x-3}\ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(0\right)=\left[ F\left(x\right) \right]_{0}^{2}=\left[-e^{-x-3}\right]_{0}^{2}

I=-e^{-2-3}-\left(-e^{-0-3}\right)=-e^{-5}+e^{-3}=e^{-3}-e^{-5}.

Soit f la fonction définie sur \left[-1;0\right] par f\left(x\right)=xe^{x^2}. On souhaite déterminer une primitive F de f.

Pour cela on pose, pour tout x de l'intervalle \left[-1;0\right], u\left(x\right)=x^2. On a alors u'\left(x\right)=2x et par conséquent,

f=\dfrac{1}{2}\times u'\times e^{u}.

Une primitive de f est alors F=\dfrac{1}{2}\times e^u et donc pour tout x de l'intervalle \left[-1;0\right],

F\left(x\right)=\dfrac{1}{2}e^{x^2}.

On sait que :

I=\int_{-1}^{0}xe^{x^2}\ \mathrm dx=F\left(0\right)-F\left(-1\right)=\left[ F\left(x\right) \right]_{-1}^{0}=\left[\dfrac{1}{2}e^{x^2}\right]_{-1}^{0}

I=\dfrac{1}{2}e^{0^2}-\dfrac{1}{2}e^{\left(-1\right)^2}=\dfrac{e^0-e^1}{2}=\dfrac{1-e}{2}.

Soit f la fonction définie sur \left[2;3\right] par f\left(x\right)=\dfrac{2x+1}{x^2+x}. On souhaite déterminer une primitive F de f.

Pour cela on pose, pour tout x de l'intervalle \left[2;3\right], u\left(x\right)=x^2+x. On a alors u'\left(x\right)=2x+1 et par conséquent,

f=\dfrac{u'}{u}.

Une primitive de f est alors F=\ln\left(u\right) et donc pour tout x de l'intervalle \left[2;3\right],

F\left(x\right)=\ln\left(x^2+x\right).

On sait que :

I=\int_{2}^{3}\dfrac{2x+1}{x^2+x}\ \mathrm dx=F\left(3\right)-F\left(2\right)=\left[ F\left(x\right) \right]_{2}^{3}=\left[ln\left(x^2+x\right)\right]_{2}^{3}

I=\ln\left(3^2+3\right)-\ln\left(2^2+2\right)=\ln\left(12\right)-\ln\left(6\right)=ln\left( \dfrac{12}{6} \right)=\ln\left(2\right).