Encadrer une intégrale Exercice

On encadre la fonction x\longmapsto e^{x^2} sur \left[ 0;1 \right].

0\leqslant x\leqslant 1

\Rightarrow 0\leqslant x^2\leqslant 1 car les nombres sont positifs

\Rightarrow e^0\leqslant e^{x^2}\leqslant e^1 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}

\Rightarrow 1\leqslant e^{x^2}\leqslant e

On a donc, \forall x \in \left[ 0;1 \right], e^{x^2}\leqslant e

On intègre cette inégalité entre 0 et 1 :

\int_{0}^{1} e^{x^2} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{1} e \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{1}e\ \mathrm dx =e

On obtient finalement :

\int_{0}^{1} e^{x^2} \ \mathrm dx \leqslant e

On encadre la fonction x\longmapsto e^{x^2} sur \left[ 0;1 \right].

0\leqslant x\leqslant 1

\Rightarrow 0\leqslant x^2\leqslant 1 car les nombres sont positifs

\Rightarrow e^0\leqslant e^{x^2}\leqslant e^1 car la fonction exponentielle est strictement décroissante sur \mathbb{R}

\Rightarrow 1\leqslant e^{x^2}\leqslant e

On a donc, \forall x \in \left[ 0;1 \right], e^{x^2}\leqslant e

On intègre cette inégalité entre 0 et 1 :

\int_{0}^{1} e^{x^2} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{1} e \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{1}e\ \mathrm dx =e

On obtient finalement :

\int_{0}^{1} e^{x^2} \ \mathrm dx \leqslant e

On encadre la fonction x\longmapsto e^{x^2} sur \left[ 0;1 \right].

0\leqslant x\leqslant 1

\Rightarrow 0\leqslant x^2\leqslant 1 car les nombres sont positifs

\Rightarrow e^0\leqslant e^{x^2}\leqslant e^1 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}

\Rightarrow 1\leqslant e^{x^2}\leqslant e

On a donc, \forall x \in \left[ 0;1 \right], e^{x^2}\leqslant e

On intègre cette inégalité entre 0 et 1 :

\int_{0}^{1} e^{x^2} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{1} e \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{1}e\ \mathrm dx =1

On obtient finalement :

\int_{0}^{1} e^{x^2} \ \mathrm dx \leqslant e

On encadre la fonction x\longmapsto e^{x^2} sur \left[ 0;1 \right].

0\leqslant x\leqslant 1

\Rightarrow 0\leqslant x^2\leqslant 1 car les nombres sont positifs

\Rightarrow e^0\leqslant e^{x^2}\leqslant e^1 car la fonction exponentielle est strictement décroissante sur \mathbb{R}

\Rightarrow 1\leqslant e^{x^2}\leqslant e

On a donc, \forall x \in \left[ 0;1 \right], e^{x^2}\leqslant e

On intègre cette inégalité entre 0 et 1 :

\int_{0}^{1} e^{x^2} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{1} e \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{1}e\ \mathrm dx =1

On obtient finalement :

\int_{0}^{1} e^{x^2} \ \mathrm dx \leqslant e

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} sur \left[ 0;ln2 \right].

0\leqslant x\leqslant ln2

\Rightarrow 0\leqslant x^2\leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2 car les nombres sont positifs

\Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2\dfrac{e^x}{e^x+1} car \dfrac{e^x}{e^x+1}\gt0

On a donc, \forall x \in \left[ 0;ln2 \right], \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2\dfrac{e^x}{e^x+1}

On intègre cette inégalité entre 0 et ln2 :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{ln2} \left(\ln\left(2\right)\right)^2\dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2 \int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx = ln3-ln2

On obtient finalement :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2\left(\ln\left(3\right)-\ln\left(2\right)\right)

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} sur \left[ 0;ln2 \right].

0\leqslant x\leqslant ln2

\Rightarrow 0\leqslant x^2\leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2 car les nombres sont positifs

\Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2\dfrac{e^x}{e^x+1} car {e^x}\gt0

On a donc, \forall x \in \left[ 0;ln2 \right], \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2\dfrac{e^x}{e^x+1}

On intègre cette inégalité entre 0 et ln2 :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{ln2} \left(\ln\left(2\right)\right)^2\dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2 \int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx = ln3-ln2

On obtient finalement :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2\left(\ln\left(3\right)-\ln\left(2\right)\right)

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} sur \left[ 0;ln2 \right].

0\leqslant x\leqslant ln2

\Rightarrow 0\leqslant x^2\leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2 car les nombres sont positifs

\Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2\dfrac{e^x}{e^x+1} car {e^x}\gt0

On a donc, \forall x \in \left[ 0;ln2 \right], \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2\dfrac{e^x}{e^x+1}

On intègre cette inégalité entre 0 et ln2 :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{ln2} \left(\ln\left(2\right)\right)^2\dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2 \int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx =0

On obtient finalement :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2\left(\ln\left(3\right)-\ln\left(2\right)\right)

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} sur \left[ 0;ln2 \right].

0\leqslant x\leqslant ln2

\Rightarrow 0\leqslant x^2\leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2 car les nombres sont positifs

\Rightarrow 0 \leqslant \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2\dfrac{e^x}{e^x+1} car \dfrac{e^x}{e^x+1}\gt0

On a donc, \forall x \in \left[ 0;ln2 \right], \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \leqslant \dfrac{e^x}{e^x+1}

On intègre cette inégalité entre 0 et ln2 :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{ln2} \left(\ln\left(2\right)\right)^2\dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2 \int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx = ln3-ln2

On obtient finalement :

\int_{0}^{ln2} \dfrac{x^2e^x}{e^x+1} \ \mathrm dx \leqslant \left(\ln\left(2\right)\right)^2\left(\ln\left(3\right)-\ln\left(2\right)\right)

On encadre la fonction x\longmapsto x^2\sin\left(x\right) sur \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right].

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{2}

\Rightarrow 0\leqslant \sin\left(x\right) \leqslant 1

\Rightarrow 0 \leqslant x^2 \sin\left(x\right) \leqslant x^2 car x^2\geqslant0

On a donc, \forall x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right], x^2 \sin\left(x\right) \leqslant x^2

On intègre cette inégalité entre 0 et \dfrac{\pi}{2} :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx= \left[ \dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{ \frac{\pi}{2}}

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx= \dfrac{\pi^3}{24}

On obtient finalement :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \dfrac{\pi^3}{24}

On encadre la fonction x\longmapsto x^2\sin\left(x\right) sur \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right].

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{2}

\Rightarrow 0\leqslant \sin\left(x\right) \leqslant \dfrac{1}{2}

\Rightarrow 0 \leqslant x^2 \sin\left(x\right) \leqslant x^2 car x^2\geqslant0

On a donc, \forall x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right], x^2 \sin\left(x\right) \leqslant x^2

On intègre cette inégalité entre 0 et \dfrac{\pi}{2} :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx= \left[ \dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{ \frac{\pi}{2}}

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx= \dfrac{\pi^3}{24}

On obtient finalement :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \dfrac{\pi^3}{24}

On encadre la fonction x\longmapsto x^2\sin\left(x\right) sur \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right].

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{2}

\Rightarrow 0\leqslant \sin\left(x\right) \leqslant 1

\Rightarrow 0 \leqslant x^2 \sin\left(x\right) \leqslant x^2 car x^2\geqslant0

On a donc, \forall x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right], x^2 \sin\left(x\right) \leqslant x^2

On intègre cette inégalité entre 0 et \dfrac{\pi}{2} :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx= \left[ \dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{ \frac{\pi}{2}}

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx= \dfrac{\pi}{24}

On obtient finalement :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \dfrac{\pi^3}{24}

On encadre la fonction x\longmapsto x^2\sin\left(x\right) sur \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right].

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{2}

\Rightarrow 0\leqslant \sin\left(x\right) \leqslant \dfrac{1}{2}

\Rightarrow 0 \leqslant x^2 \sin\left(x\right) \leqslant x^2 car x^2\geqslant0

On a donc, \forall x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right], x^2 \sin\left(x\right) \leqslant x^2

On intègre cette inégalité entre 0 et \dfrac{\pi}{2} :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx= \left[ \dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{ \frac{\pi}{2}}

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \ \mathrm dx= \dfrac{\pi}{24}

On obtient finalement :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\sin\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \dfrac{\pi^3}{24}

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} sur \left[ 1;e \right].

1 \leqslant x\leqslant e

\Rightarrow 0\leqslant \ln\left(x\right) \leqslant 1 car la fonction logarithme est croissante

\Rightarrow e^0 \leqslant e^{\ln\left(x\right) }\leqslant e car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}

\Rightarrow \dfrac{1}{x} \leqslant\dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \leqslant \dfrac{e}{x} car x est positif

On a donc, \forall x \in \left[ 1;e \right], \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \leqslant \dfrac{e}{x}

On intègre cette inégalité entre 1 et e :

\int_{1}^{e} \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{1} \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{e} \dfrac{e}{x} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{e} \dfrac{e}{x} \ \mathrm dx =e

On obtient finalement :

\int_{1}^{e} \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \mathrm dx \leqslant e

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} sur \left[ 1;e \right].

1 \leqslant x\leqslant e

\Rightarrow 0{,}5\leqslant \ln\left(x\right) \leqslant 1 car la fonction logarithme est croissante

\Rightarrow e^0 \leqslant e^{\ln\left(x\right) }\leqslant e car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}

\Rightarrow \dfrac{1}{x} \leqslant\dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \leqslant \dfrac{e}{x} car x est positif

On a donc, \forall x \in \left[ 1;e \right], \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \leqslant \dfrac{e}{x}

On intègre cette inégalité entre 1 et e :

\int_{1}^{e} \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{1} \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{e} \dfrac{e}{x} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{e} \dfrac{e}{x} \ \mathrm dx =e

On obtient finalement :

\int_{1}^{e} \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \mathrm dx \leqslant e

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} sur \left[ 1;e \right].

1 \leqslant x\leqslant e

\Rightarrow 0{,}5\leqslant \ln\left(x\right) \leqslant 1 car la fonction logarithme est croissante

\Rightarrow e^0{,}5 \leqslant e^{\ln\left(x\right) }\leqslant e car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}

\Rightarrow \dfrac{1}{x} \leqslant\dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \leqslant \dfrac{e}{x} car x est positif

On a donc, \forall x \in \left[ 1;e \right], \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \leqslant \dfrac{e}{x}

On intègre cette inégalité entre 1 et e :

\int_{1}^{e} \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{1} \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{e} \dfrac{e}{x} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{e} \dfrac{e}{x} \ \mathrm dx =e

On obtient finalement :

\int_{1}^{e} \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \mathrm dx \leqslant e

On encadre la fonction x\longmapsto \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} sur \left[ 1;e \right].

1 \leqslant x\leqslant e

\Rightarrow 0\leqslant \ln\left(x\right) \leqslant 1 car la fonction logarithme est décroissante

\Rightarrow e^0 \leqslant e^{\ln\left(x\right) }\leqslant e car la fonction exponentielle est strictement décroissante sur \mathbb{R}

\Rightarrow \dfrac{1}{x} \leqslant\dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \leqslant \dfrac{e}{x} car x est positif

On a donc, \forall x \in \left[ 1;e \right], \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \leqslant \dfrac{e}{x}

On intègre cette inégalité entre 1 et e :

\int_{1}^{e} \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{1} \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{e} \dfrac{e}{x} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{e} \dfrac{e}{x} \ \mathrm dx =e

On obtient finalement :

\int_{1}^{e} \dfrac{e^{\ln\left(x\right)}}{x} \mathrm dx \leqslant e

On encadre la fonction x\longmapsto x^nsin\left(x\right) sur \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right].

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{2}

\Rightarrow 0\leqslant \sin\left(x\right) \leqslant 1 car la fonction sinus est croissante

\Rightarrow 0\leqslant x^nsin\left(x\right) \leqslant x^n car x est positif

On a donc, \forall x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right], x^nsin\left(x\right) \leqslant x^n

On intègre cette inégalité entre 0 et \dfrac{\pi}{2} :

\int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^nsin\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^n \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^n \ \mathrm dx = \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1}

On obtient finalement :

\int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^nsin\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1}

On encadre la fonction x\longmapsto x^nsin\left(x\right) sur \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right].

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{2}

\Rightarrow 0\leqslant \sin\left(x\right) \leqslant 1 car la fonction sinus est décroissante

\Rightarrow 0\leqslant x^nsin\left(x\right) \leqslant x^n car x est positif

On a donc, \forall x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right], x^nsin\left(x\right) \leqslant x^n

On intègre cette inégalité entre 0 et \dfrac{\pi}{2} :

\int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^nsin\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^n \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^n \ \mathrm dx = \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1}

On obtient finalement :

\int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^nsin\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1}

On encadre la fonction x\longmapsto x^nsin\left(x\right) sur \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right].

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{2}

\Rightarrow 0\leqslant \sin\left(x\right) \leqslant \dfrac{1}{2} car la fonction sinus est croissante

\Rightarrow 0\leqslant x^nsin\left(x\right) \leqslant x^n car x est positif

On a donc, \forall x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right], x^nsin\left(x\right) \leqslant x^n

On intègre cette inégalité entre 0 et \dfrac{\pi}{2} :

\int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^nsin\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^n \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^n \ \mathrm dx = \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1}

On obtient finalement :

\int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^nsin\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1}

On encadre la fonction x\longmapsto x^nsin\left(x\right) sur \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right].

0\leqslant x\leqslant \dfrac{\pi}{2}

\Rightarrow 0\leqslant \sin\left(x\right) \leqslant 1 car la fonction sinus est croissante

\Rightarrow 0\leqslant x^nsin\left(x\right) \leqslant x car x est positif

On a donc, \forall x \in \left[ 0; \dfrac{\pi}{2} \right], x^nsin\left(x\right) \leqslant x

On intègre cette inégalité entre 0 et \dfrac{\pi}{2} :

\int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^nsin\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^n \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^n \ \mathrm dx = \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1}

On obtient finalement :

\int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} x^nsin\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{n+1}

On encadre la fonction x\longmapsto e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} sur \left[ 1;2 \right].

1\leqslant x\leqslant 2

\Rightarrow 1\leqslant \sqrt{x }\leqslant \sqrt{2} car la fonction racine est croissante sur \left[ 1;2 \right]

\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \leqslant\dfrac{1}{\sqrt{x }} \leqslant 1 car la fonction inverse est strictement décroissante sur \left[ 1;2 \right]

\Rightarrow -1 \leqslant -\dfrac{1}{\sqrt{x }} \leqslant - \dfrac{1}{\sqrt{2}} car les nombres étaient tous positifs

On a donc, \forall x \in \left[ 1;2\right], e^{-\frac{1}{\sqrt{x }}} \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 2 :

\int_{1}^{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{2} e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{2} e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}} \ \mathrm dx = e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

On obtient finalement :

\int_{1}^{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} \ \mathrm dx \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

\Rightarrow e^{-1} \leqslant e^{-\frac{1}{\sqrt{x }}} \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

On encadre la fonction x\longmapsto e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} sur \left[ 1;2 \right].

1\leqslant x\leqslant 2

\Rightarrow 1\leqslant \sqrt{x }\leqslant \sqrt{2} car la fonction racine est croissante sur \left[ 1;2 \right]

\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \leqslant\dfrac{1}{\sqrt{x }} \leqslant 1 car la fonction inverse est strictement décroissante sur \left[ 1;2 \right]

\Rightarrow -\dfrac{1}{\sqrt{2}} \leqslant-\dfrac{1}{\sqrt{x }} \leqslant -1 car les nombres étaient tous positifs

On a donc, \forall x \in \left[ 1;2\right], e^{-\frac{1}{\sqrt{x }}} \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 2 :

\int_{1}^{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{2} e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{2} e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}} \ \mathrm dx = e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

On obtient finalement :

\int_{1}^{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} \ \mathrm dx \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

\Rightarrow e^{-1} \leqslant e^{-\frac{1}{\sqrt{x }}} \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

On encadre la fonction x\longmapsto e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} sur \left[ 1;2 \right].

1\leqslant x\leqslant 2

\Rightarrow 1\leqslant \sqrt{x }\leqslant \sqrt{2} car la fonction racine est croissante sur \left[ 1;2 \right]

\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \leqslant\dfrac{1}{\sqrt{x }} \leqslant 1 car la fonction inverse est strictement croissante sur \left[ 1;2 \right]

\Rightarrow -1 \leqslant -\dfrac{1}{\sqrt{x }} \leqslant - \dfrac{1}{\sqrt{2}} car les nombres étaient tous positifs

On a donc, \forall x \in \left[ 1;2\right], e^{-\frac{1}{\sqrt{x }}} \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 2 :

\int_{1}^{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{2} e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{2} e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}} \ \mathrm dx = e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

On obtient finalement :

\int_{1}^{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} \ \mathrm dx \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

\Rightarrow e^{-1} \leqslant e^{-\frac{1}{\sqrt{x }}} \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

On encadre la fonction x\longmapsto e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} sur \left[ 1;2 \right].

1\leqslant x\leqslant 2

\Rightarrow 1\leqslant \sqrt{x }\leqslant \sqrt{2} car la fonction racine est décroissante sur \left[ 1;2 \right]

\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \leqslant\dfrac{1}{\sqrt{x }} \leqslant 1 car la fonction inverse est strictement décroissante sur \left[ 1;2 \right]

\Rightarrow -1 \leqslant -\dfrac{1}{\sqrt{x }} \leqslant - \dfrac{1}{\sqrt{2}} car les nombres étaient tous positifs

On a donc, \forall x \in \left[ 1;2\right], e^{-\frac{1}{\sqrt{x }}} \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

On intègre cette inégalité entre 1 et 2 :

\int_{1}^{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} \ \mathrm dx \leqslant \int_{1}^{2} e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}} \ \mathrm dx

On on sait que :

\int_{1}^{2} e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}} \ \mathrm dx = e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

On obtient finalement :

\int_{1}^{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{x}}} \ \mathrm dx \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}

\Rightarrow e^{-1} \leqslant e^{-\frac{1}{\sqrt{x }}} \leqslant e^{- \frac{1}{\sqrt{2}}}