Encadrer une intégraleMéthode

Méthode 1

En encadrant la fonction intégrée

Lorsque l'on ne peut pas calculer la valeur de \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx car on ne connaît pas de primitive de la fonction sous l'intégrale, l'énoncé peut demander d'encadrer cette intégrale. On peut obtenir cet encadrement à partir d'un encadrement de la fonction f.

Soit n un entier naturel. Démontrer l'inégalité suivante :

\int_{0}^{1} x^{n}e^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1}

Etape 1

Repérer les éléments à conserver dans l'expression de f

L'encadrement voulu est toujours donné par l'énoncé. On y repère donc les éléments qui doivent être conservés lors de l'encadrement de f.

On constate que l'entier n est présent dans le terme de droite. Il faut donc penser à le conserver quand on majorera x^ne^{-x}.

Etape 2

Encadrer la fonction f

On encadre la fonction f sur \left[ a;b \right]. On démontre donc un encadrement de la forme suivante :

\forall x\in \left[ a;b \right], u\left( x \right)\leqslant f\left( x \right)\leqslant v\left( x \right)

On encadre d'abord e^{-x} sur \left[ 0;1 \right].

Soit x un réel compris entre 0 et 1. On a :

-1\leqslant -x \leqslant0

La fonction exponentielle étant strictement croissante sur \mathbb{R} :

e^{-1}\leqslant e^{-x} \leqslant e^{-0}

En gardant uniquement la majoration, on a :

e^{-x}\leqslant1

On multiplie par x^{n} qui est positif. On obtient donc :

x^{n}e^{-x}\leqslant x^n

Etape 3

Utiliser les comparaisons d'intégrales

On s'assure que a\leqslant b.

Grâce à l'encadrement trouvé dans l'étape précédente, on a alors, par comparaison d'intégrales :

\int_{a}^{b} u\left(x\right) \ \mathrm dx\leqslant\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leqslant\int_{a}^{b} v\left(x\right) \ \mathrm dx

On calcule \int_{a}^{b} u\left(x\right) \ \mathrm dx et \int_{a}^{b} v\left(x\right) \ \mathrm dx pour obtenir l'encadrement voulu.

0 est bien inférieur à 1. Donc, d'après l'inégalité précédente, par comparaison d'intégrales, on a :

\int_{0}^{1} x^ne^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{1} x^n \ \mathrm dx

Or :

\int_{0}^{1} x^n \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]^1_0=\dfrac{1^{n+1}}{n+1}-\dfrac{0^{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}

On peut donc conclure :

\int_{0}^{1} x^{n}e^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1}

Méthode 2

En utilisant l'inégalité de la moyenne

On peut parfois obtenir directement un encadrement d'intégrale grâce à l'inégalité de la moyenne.

Démontrer l'inégalité suivante :

0\leqslant \int_{0}^{1} xe^x \ \mathrm dx\leqslant e

Etape 1

Énoncer les propriétés de l'inégalité de la moyenne

Si f est une fonction continue sur \left[ a;b \right] (a\leqslant b), minorée par m et majorée par M sur cet intervalle, on a, d'après l'inégalité de la moyenne :

m\left( b-a \right)\leqslant \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant M\left( b-a \right)

Si f est une fonction continue sur \left[ a;b \right] (a\leqslant b), minorée par m et majorée par M sur cet intervalle, on a, d'après l'inégalité de la moyenne :

m\left( b-a \right)\leqslant \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant M\left( b-a \right)

Etape 2

Déterminer un majorant et un minorant de f

On détermine tout d'abord un minorant et un majorant de la fonction f sur \left[ a;b \right], ce qui revient à démontrer une inégalité de la forme m\leqslant f\left( x \right)\leqslant M, où m et M ne dépendent pas de x.

Soit x un réel compris entre 0 et 1. On a :

  • 0\leqslant x \leqslant 1
  • e^0\leqslant e^x \leqslant e^1 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}

Les deux quantités étant positives, par produit, on a :

0\times e^0\leqslant xe^x \leqslant 1\times e

Soit :

0\leqslant xe^x \leqslant e

Etape 3

Écrire l'inégalité obtenue

On remplace m et M par les valeurs trouvées dans l'étape 1 pour obtenir l'encadrement souhaité.

En appliquant l'inégalité de la moyenne à la fonction f:x\longmapsto xe^x entre 0 et 1, d'après le résultat de l'étape 2, on a :

0\times\left(1-0\right) \leqslant \int_{0}^{1} xe^x \ \mathrm dx\leqslant e\times\left(1-0\right)

On peut donc conclure :

0 \leqslant \int_{0}^{1} xe^x \ \mathrm dx\leqslant e

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