Sommaire
Méthode 1En encadrant la fonction intégrée 1Repérer les éléments à conserver dans l'expression de f 2Encadrer la fonction f 3Utiliser les comparaisons d'intégralesMéthode 2En utilisant l'inégalité de la moyenne 1Énoncer les propriétés de l'inégalité de la moyenne 2Déterminer un majorant et un minorant de f 3Écrire l'inégalité obtenue Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 12/05/2025 - Conforme au programme 2024-2025
En encadrant la fonction intégrée
Lorsque l'on ne peut pas calculer la valeur de \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx car on ne connaît pas de primitive de la fonction sous l'intégrale, l'énoncé peut demander d'encadrer cette intégrale. On peut obtenir cet encadrement à partir d'un encadrement de la fonction f.
Soit n un entier naturel. Démontrer l'inégalité suivante :
\int_{0}^{1} x^{n}e^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1}
Repérer les éléments à conserver dans l'expression de f
L'encadrement voulu est toujours donné par l'énoncé. On y repère donc les éléments qui doivent être conservés lors de l'encadrement de f.
On constate que l'entier n est présent dans le terme de droite. Il faut donc penser à le conserver quand on majorera x^ne^{-x}.
Encadrer la fonction f
On encadre la fonction f sur \left[ a;b \right]. On démontre donc un encadrement de la forme suivante :
\forall x\in \left[ a;b \right], u\left( x \right)\leqslant f\left( x \right)\leqslant v\left( x \right)
On encadre d'abord e^{-x} sur \left[ 0;1 \right].
Soit x un réel compris entre 0 et 1. On a :
-1\leqslant -x \leqslant0
La fonction exponentielle étant strictement croissante sur \mathbb{R} :
e^{-1}\leqslant e^{-x} \leqslant e^{-0}
En gardant uniquement la majoration, on a :
e^{-x}\leqslant1
On multiplie par x^{n} qui est positif. On obtient donc :
x^{n}e^{-x}\leqslant x^n
Utiliser les comparaisons d'intégrales
On s'assure que a\leqslant b.
Grâce à l'encadrement trouvé dans l'étape précédente, on a alors, par comparaison d'intégrales :
\int_{a}^{b} u\left(x\right) \ \mathrm dx\leqslant\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leqslant\int_{a}^{b} v\left(x\right) \ \mathrm dx
On calcule \int_{a}^{b} u\left(x\right) \ \mathrm dx et \int_{a}^{b} v\left(x\right) \ \mathrm dx pour obtenir l'encadrement voulu.
0 est bien inférieur à 1. Donc, d'après l'inégalité précédente, par comparaison d'intégrales, on a :
\int_{0}^{1} x^ne^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \int_{0}^{1} x^n \ \mathrm dx
Or :
\int_{0}^{1} x^n \ \mathrm dx=\left[ \dfrac{x^{n+1}}{n+1} \right]^1_0=\dfrac{1^{n+1}}{n+1}-\dfrac{0^{n+1}}{n+1}=\dfrac{1}{n+1}
On peut donc conclure :
\int_{0}^{1} x^{n}e^{-x} \ \mathrm dx \leqslant \dfrac{1}{n+1}
En utilisant l'inégalité de la moyenne
On peut parfois obtenir directement un encadrement d'intégrale grâce à l'inégalité de la moyenne.
Démontrer l'inégalité suivante :
0\leqslant \int_{0}^{1} xe^x \ \mathrm dx\leqslant e
Énoncer les propriétés de l'inégalité de la moyenne
Si f est une fonction continue sur \left[ a;b \right] (a\leqslant b), minorée par m et majorée par M sur cet intervalle, on a, d'après l'inégalité de la moyenne :
m\left( b-a \right)\leqslant \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant M\left( b-a \right)
Si f est une fonction continue sur \left[ a;b \right] (a\leqslant b), minorée par m et majorée par M sur cet intervalle, on a, d'après l'inégalité de la moyenne :
m\left( b-a \right)\leqslant \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx \leqslant M\left( b-a \right)
Déterminer un majorant et un minorant de f
On détermine tout d'abord un minorant et un majorant de la fonction f sur \left[ a;b \right], ce qui revient à démontrer une inégalité de la forme m\leqslant f\left( x \right)\leqslant M, où m et M ne dépendent pas de x.
Soit x un réel compris entre 0 et 1. On a :
- 0\leqslant x \leqslant 1
- e^0\leqslant e^x \leqslant e^1 car la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R}
Les deux quantités étant positives, par produit, on a :
0\times e^0\leqslant xe^x \leqslant 1\times e
Soit :
0\leqslant xe^x \leqslant e
Écrire l'inégalité obtenue
On remplace m et M par les valeurs trouvées dans l'étape 1 pour obtenir l'encadrement souhaité.
En appliquant l'inégalité de la moyenne à la fonction f:x\longmapsto xe^x entre 0 et 1, d'après le résultat de l'étape 2, on a :
0\times\left(1-0\right) \leqslant \int_{0}^{1} xe^x \ \mathrm dx\leqslant e\times\left(1-0\right)
On peut donc conclure :
0 \leqslant \int_{0}^{1} xe^x \ \mathrm dx\leqslant e