Proportions et pourcentageCours

I

Définitions

Population

On appelle population l'ensemble des individus étudiés.

Les enfants nés à Paris en 2000 représentent une population.

Les voitures produites dans une usine au cours du mois de février 2010 représentent également une population.

Sous-population

Une sous-population d'une population donnée est un sous-ensemble de cette population.

Les enfants nés à Paris au mois de mai 2000 représentent une sous-population des enfants nés à Paris en 2000.

Effectif

L'effectif total est le nombre d'individus que contient la population.

L'effectif d'une sous-population est le nombre d'individus qu'elle contient.

II

Proportions et pourcentages

A

Proportions

Soit N  l'effectif total d'une population et n  l'effectif d'une sous-population.

La proportion de la sous-population dans la population est égale à : \dfrac n N.

On considère une population de 25 élèves d'une classe de seconde.

Dans cette classe, 12 élèves font de l'anglais. Ces élèves forment une sous-population.

La proportion d'élèves qui font de l'anglais dans cette population est :

p=\dfrac {12} {25} = 0,48

-
B

Pourcentages

Une proportion peut être exprimée sous forme de pourcentage.

p=\dfrac{12}{25}=0,48  correspond à 48 % car 0,48=\dfrac {48}{100}.

Le pourcentage est simplement l'une des façons possibles d'exprimer une proportion.

Pour déterminer l'effectif correspondant à un pourcentage d'une population, on multiplie ce pourcentage par l'effectif total de la population.

Ainsi, p \% d'une population d'effectif N correspond à  \dfrac {p}{100} \times N.

Dans une ville de 20 000 habitants, 75 % des habitants ont un animal de compagnie.

Le nombre d'habitants ayant un animal de compagnie est donc :

n=\dfrac{75}{100} \times 20\ 000=15\ 000

15 000 habitants ont un animal de compagnie dans cette ville.

C

Proportions de proportions

Dans certains cas, on est amené à calculer plusieurs proportions imbriquées.

Soit P une population, P_1 une sous-population de P et P_2 une sous-population de P_1, c'est-à-dire :

P_2\subset P_1\subset P.

Soit p_1 la proportion de P_1 dans P et p_2 la proportion de P_2 dans P_1.

La proportion de de P_2 dans P est :

p=p_2\times p_1 

Considérons une ville où 75 % des habitants ont un animal de compagnie. Parmi eux, 60 % ont un chien.

On cherche à calculer la proportion d'habitants de la ville qui ont un chien.

-

Le pourcentage d'habitants de la ville ayant un chien est :

p'=\dfrac{60}{100}\times \dfrac{75}{100}=\dfrac{4500}{10000}=\dfrac{45}{100}=45

En conclusion, 45 % des habitants de la ville ont un chien.

Cette propriété est valable que l'on exprime la proportion sous forme de pourcentage ou pas.

III

Évolution d'un effectif

A

Variation absolue et relative

Variation absolue

Une variation absolue est une variation qui ne dépend pas du nombre de départ.

La variation absolue entre deux quantités se calcule en posant :

\text{Quantité finale} - \text{Quantité initiale}

Un prix passe de 50 € à 30 €.

La variation absolue est de 30-50=-20 : le prix diminue de 20 €.

Variation relative

Une variation relative est une variation qui dépend du nombre de départ.

La variation relative entre deux quantités se calcule en posant :

\dfrac {\text{Quantité finale} - \text{Quantité initiale}} {\text{Quantité initiale} }

La variation relative est aussi appelée « taux d'évolution ».

Un prix passe de 50 € à 30 €.

La variation relative est de \dfrac{30−50}{50}=\dfrac{−20}{50}=-\dfrac 2 5=−0,4=-\dfrac{40}{100}=−40\% .

Le taux d'évolution est de −40 %, il est négatif, donc le prix diminue de 40 %.

B

Coefficients multiplicateurs

  • Augmenter un nombre de p\text{ \%} revient à le multiplier par \left(1+\dfrac p{100}\right).
  • Diminuer un nombre de p\text{ \%} revient à le multiplier par \left(1-\dfrac p{100}\right).
  •  \left(1+\dfrac p{100}\right) et \left(1-\dfrac p{100}\right) sont appelés coefficients multiplicateurs.

Une population de 2 000 habitants voit son effectif augmenté de 25 %.

Son nouvel effectif est de :

n'=\text{2 000}\times \left(1+\dfrac{25}{100}\right)=\text{2 000}\times \dfrac{125}{100}=\text{2 000}\times 1,25=\text{2 500}

Le nouvel effectif n' est constitué de l'ancien effectif n auquel on ajoute 25 % de n.

Donc n'=n+\dfrac{25}{100}\times n=n(1+\dfrac{25}{100}) en factorisant par n.

Réciproquement, multiplier une quantité par 1+\dfrac p{100} (ou \left(1- \dfrac{p}{100}\right) ) revient à l'augmenter (ou diminuer) de p\text{ \%}.

Multiplier un prix par 1,04 revient à l'augmenter de 4 % car 1,04=1+\dfrac 4{100}.

C

Évolutions successives

Dans certains cas, une quantité peut subir plusieurs évolutions à la suite.

Un placement à la banque rapporte 2 % d'intérêts la première année et 3 % d'intérêts la deuxième année.

On appelle C le capital d'argent placé initialement à la banque.

À l'issue de la première année, notre capital a été augmenté de 2 %.

Le capital obtenu est donc : C_1=C\times (1+\dfrac 2{100}).

À l'issue de la deuxième année, notre capital est augmenté de 3 %, mais notre point de départ n'est plus le capital initial C, c'est le nouveau capital C_1.

On obtient donc : C_2=C_1\times (1+\dfrac 3{100})=C\times (1+\dfrac 2{100})\times (1+\dfrac 3{100}).

Pour obtenir le capital final, on a donc multiplié successivement par les deux coefficients multiplicateurs.

Le coefficient multiplicateur final est le produit des deux coefficients multiplicateurs intermédiaires :
(1+\dfrac 2{100})\times (1+\dfrac 3{100})=\dfrac{102}{100}\times \dfrac{103}{100}=\dfrac{\text{10 506}}{\text{10 000}}=1,0506

Le coefficient multiplicateur de l'évolution global correspondant à plusieurs évolutions successives est égal au produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires.

Le taux d'évolution global n'est pas égal à la somme des taux d'évolutions successifs.

Une population augmente de 10 %. Puis elle diminue de 10 %.

Sa nouvelle population est :

P'=P\times \left(1−\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=P\times 0,9\times 1,1=P\times 0,99

Comme P\times 0,99=P\times \left(1-\dfrac{1}{100}\right), la population a, au final, diminué de 1 %.

La raison est que lorsque l'on applique les 10 % la deuxième fois, ils s'appliquent sur une population plus grande que la population initiale. Ils représentent donc plus d'individus que les premiers 10 % d'augmentation.

D

Évolution réciproque

Il arrive que l'on connaisse la valeur d'une quantité après une évolution et que l'on cherche sa valeur initiale avant l'évolution. On cherche alors l'évolution réciproque.

Un t-shirt soldé à 30 % est mis en vente au un prix de 7 €.

On appelle p_i le prix initial et p_f le prix final.

La relation entre les deux prix est :

p_f=p_i\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=p_i\times 0,7

Le coefficient multiplicateur est 0,7.

On souhaite retrouver le prix initial.

En utilisant l'égalité ci-dessus, on a :

7=p_i \times 0,7  

Donc : p_i=\frac 7{0,7}=10.

On a divisé le prix final par le coefficient multiplicateur pour retrouver le prix initial.

Le coefficient multiplicateur c' d'une évolution réciproque est l'inverse du coefficient multiplicateur c de l'évolution initiale.

Autrement dit, si c est le coefficient multiplicateur pour passer d'une quantité Q à la quantité Q', alors  c'=\dfrac 1 c est le coefficient multiplicateur pour passer de Q' à Q.

Une population augment de 10 %, c'est-à-dire qu'elle est multipliée par 1,10.

Pour retrouver la population initiale à partir de la nouvelle population, on doit diviser par 1,10.

Si c est le coefficient multiplicateur d'une évolution et c' celui de l'évolution réciproque, alors c \times c'=1, puisqu'on revient, par définition, au point de départ.

Le taux d'évolution réciproque t' est donné par : t'=c'−1=\frac 1 c−1.

Une population augmente de 60 %, c'est-à-dire qu'elle est multipliée par c=\left( 1+\dfrac{60}{100}\right)=1,60.

Pour retrouver la population initiale à partir de la nouvelle population, on doit diviser par 1,60.

On a donc c'=\dfrac 1 {1,60} = 0,625.

On multiplie par 0,625 pour retrouver la population initiale.

Or,   0,625 = 1 - 0,375.

Le taux d'évolution réciproque est donc  −37,5 %.

Après une augmentation de 60 %, il faut que la nouvelle population diminue de 37,5 % pour retrouver la population initiale.

Le taux d'évolution réciproque n'est pas égal à l'opposé du taux d'évolution initial.

Un t-shirt coûtant initialement 10 € est soldé à 30 % pour arriver à un prix de 7 €.

Si on augmente de 30 % du prix obtenu, on obtient :

(1+\dfrac{30}{100})\times 7=1,3\times 7=9,1\neq 10

Augmenter le nouveau prix de 30 % ne permet pas de revenir au prix initial, car 30 % de 7 € ne sont pas égaux à 30 % de 10 €, ils ne correspondent pas à la même variation absolue.