Proportions et pourcentageCours

I

Définitions

Population

On appelle population l'ensemble des individus étudiés.

Les enfants nés à Paris en 2000 représentent une population.

Les voitures produites dans une usine au cours du mois de février 2010 représentent également une population.

Sous-population

Une sous-population d'une population donnée est un sous-ensemble de cette population.

Les enfants nés à Paris au mois de mai 2000 représentent une sous-population des enfants nés à Paris en 2000.

Effectif

L'effectif total est le nombre d'individus que contient la population.

L'effectif d'une sous-population est le nombre d'individus qu'elle contient.

II

Proportions et pourcentages

A

Proportions

Soit N  l'effectif total d'une population et n  l'effectif d'une sous-population.

La proportion de la sous-population dans la population est égale à : \dfrac n N.

On considère une population de 25 élèves d'une classe de seconde.

Dans cette classe, 12 élèves font de l'anglais. Ces élèves forment une sous-population.

La proportion d'élèves qui font de l'anglais dans cette population est :

p=\dfrac {12} {25} = 0{,}48

-
B

Pourcentages

Une proportion peut être exprimée sous forme de pourcentage.

p=\dfrac{12}{25}=0{,}48  correspond à 48 % car 0{,}48=\dfrac {48}{100}.

Le pourcentage est simplement l'une des façons possibles d'exprimer une proportion.

Pour déterminer l'effectif correspondant à un pourcentage d'une population, on multiplie ce pourcentage par l'effectif total de la population.

Ainsi, p \% d'une population d'effectif N correspond à  \dfrac {p}{100} \times N.

Dans une ville de 20 000 habitants, 75 % des habitants ont un animal de compagnie.

Le nombre d'habitants ayant un animal de compagnie est donc :

n=\dfrac{75}{100} \times 20\ 000=15\ 000

15 000 habitants ont un animal de compagnie dans cette ville.

C

Proportions de proportions

Dans certains cas, on est amené à calculer plusieurs proportions imbriquées.

Soit P une population, P_1 une sous-population de P et P_2 une sous-population de P_1, c'est-à-dire :

P_2\subset P_1\subset P.

Soit p_1 la proportion de P_1 dans P et p_2 la proportion de P_2 dans P_1.

La proportion de de P_2 dans P est :

p=p_2\times p_1 

Considérons une ville où 75 % des habitants ont un animal de compagnie. Parmi eux, 60 % ont un chien.

On cherche à calculer la proportion d'habitants de la ville qui ont un chien.

-

Le pourcentage d'habitants de la ville ayant un chien est :

p'=\dfrac{60}{100}\times \dfrac{75}{100}=\dfrac{4500}{10000}=\dfrac{45}{100}=45

En conclusion, 45 % des habitants de la ville ont un chien.

Cette propriété est valable que l'on exprime la proportion sous forme de pourcentage ou pas.

III

Évolution d'un effectif

A

Variation absolue et relative

Variation absolue

Une variation absolue est une variation qui ne dépend pas du nombre de départ.

La variation absolue entre deux quantités se calcule en posant :

\text{Quantité finale} - \text{Quantité initiale}

Un prix passe de 50 € à 30 €.

La variation absolue est de 30-50=-20 : le prix diminue de 20 €.

Variation relative

Une variation relative est une variation qui dépend du nombre de départ.

La variation relative entre deux quantités se calcule en posant :

\dfrac {\text{Quantité finale} - \text{Quantité initiale}} {\text{Quantité initiale} }

La variation relative est aussi appelée « taux d'évolution ».

Un prix passe de 50 € à 30 €.

La variation relative est de \dfrac{30−50}{50}=\dfrac{−20}{50}=-\dfrac 2 5=−0{,}4=-\dfrac{40}{100}=−40\% .

Le taux d'évolution est de −40 %, il est négatif, donc le prix diminue de 40 %.

B

Coefficients multiplicateurs

  • Augmenter un nombre de p\text{ \%} revient à le multiplier par \left(1+\dfrac p{100}\right).
  • Diminuer un nombre de p\text{ \%} revient à le multiplier par \left(1-\dfrac p{100}\right).
  •  \left(1+\dfrac p{100}\right) et \left(1-\dfrac p{100}\right) sont appelés coefficients multiplicateurs.

Une population de 2 000 habitants voit son effectif augmenté de 25 %.

Son nouvel effectif est de :

n'=\text{2 000}\times \left(1+\dfrac{25}{100}\right)=\text{2 000}\times \dfrac{125}{100}=\text{2 000}\times 1{,}25=\text{2 500}

Le nouvel effectif n' est constitué de l'ancien effectif n auquel on ajoute 25 % de n.

Donc n'=n+\dfrac{25}{100}\times n=n(1+\dfrac{25}{100}) en factorisant par n.

Réciproquement, multiplier une quantité par 1+\dfrac p{100} (ou \left(1- \dfrac{p}{100}\right) ) revient à l'augmenter (ou diminuer) de p\text{ \%}.

Multiplier un prix par 1,04 revient à l'augmenter de 4 % car 1{,}04=1+\dfrac 4{100}.

C

Évolutions successives

Dans certains cas, une quantité peut subir plusieurs évolutions à la suite.

Un placement à la banque rapporte 2 % d'intérêts la première année et 3 % d'intérêts la deuxième année.

On appelle C le capital d'argent placé initialement à la banque.

À l'issue de la première année, notre capital a été augmenté de 2 %.

Le capital obtenu est donc : C_1=C\times (1+\dfrac 2{100}).

À l'issue de la deuxième année, notre capital est augmenté de 3 %, mais notre point de départ n'est plus le capital initial C, c'est le nouveau capital C_1.

On obtient donc : C_2=C_1\times (1+\dfrac 3{100})=C\times (1+\dfrac 2{100})\times (1+\dfrac 3{100}).

Pour obtenir le capital final, on a donc multiplié successivement par les deux coefficients multiplicateurs.

Le coefficient multiplicateur final est le produit des deux coefficients multiplicateurs intermédiaires :
(1+\dfrac 2{100})\times (1+\dfrac 3{100})=\dfrac{102}{100}\times \dfrac{103}{100}=\dfrac{\text{10 506}}{\text{10 000}}=1{,}0506

Le coefficient multiplicateur de l'évolution global correspondant à plusieurs évolutions successives est égal au produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires.

Le taux d'évolution global n'est pas égal à la somme des taux d'évolutions successifs.

Une population augmente de 10 %. Puis elle diminue de 10 %.

Sa nouvelle population est :

P'=P\times \left(1−\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=P\times 0{,}9\times 1{,}1=P\times 0{,}99

Comme P\times 0{,}99=P\times \left(1-\dfrac{1}{100}\right), la population a, au final, diminué de 1 %.

La raison est que lorsque l'on applique les 10 % la deuxième fois, ils s'appliquent sur une population plus grande que la population initiale. Ils représentent donc plus d'individus que les premiers 10 % d'augmentation.

D

Évolution réciproque

Il arrive que l'on connaisse la valeur d'une quantité après une évolution et que l'on cherche sa valeur initiale avant l'évolution. On cherche alors l'évolution réciproque.

Un t-shirt soldé à 30 % est mis en vente au un prix de 7 €.

On appelle p_i le prix initial et p_f le prix final.

La relation entre les deux prix est :

p_f=p_i\times \left(1-\dfrac{30}{100}\right)=p_i\times 0{,}7

Le coefficient multiplicateur est 0{,}7.

On souhaite retrouver le prix initial.

En utilisant l'égalité ci-dessus, on a :

7=p_i \times 0{,}7  

Donc : p_i=\frac 7{0{,}7}=10.

On a divisé le prix final par le coefficient multiplicateur pour retrouver le prix initial.

Le coefficient multiplicateur c' d'une évolution réciproque est l'inverse du coefficient multiplicateur c de l'évolution initiale.

Autrement dit, si c est le coefficient multiplicateur pour passer d'une quantité Q à la quantité Q', alors  c'=\dfrac 1 c est le coefficient multiplicateur pour passer de Q' à Q.

Une population augment de 10 %, c'est-à-dire qu'elle est multipliée par 1,10.

Pour retrouver la population initiale à partir de la nouvelle population, on doit diviser par 1,10.

Si c est le coefficient multiplicateur d'une évolution et c' celui de l'évolution réciproque, alors c \times c'=1, puisqu'on revient, par définition, au point de départ.

Le taux d'évolution réciproque t' est donné par : t'=c'−1=\frac 1 c−1.

Une population augmente de 60 %, c'est-à-dire qu'elle est multipliée par c=\left( 1+\dfrac{60}{100}\right)=1{,}60.

Pour retrouver la population initiale à partir de la nouvelle population, on doit diviser par 1{,}60.

On a donc c'=\dfrac 1 {1{,}60} = 0{,}625.

On multiplie par 0,625 pour retrouver la population initiale.

Or,   0{,}625 = 1 - 0{,}375.

Le taux d'évolution réciproque est donc  −37,5 %.

Après une augmentation de 60 %, il faut que la nouvelle population diminue de 37,5 % pour retrouver la population initiale.

Le taux d'évolution réciproque n'est pas égal à l'opposé du taux d'évolution initial.

Un t-shirt coûtant initialement 10 € est soldé à 30 % pour arriver à un prix de 7 €.

Si on augmente de 30 % du prix obtenu, on obtient :

(1+\dfrac{30}{100})\times 7=1{,}3\times 7=9{,}1\neq 10

Augmenter le nouveau prix de 30 % ne permet pas de revenir au prix initial, car 30 % de 7 € ne sont pas égaux à 30 % de 10 €, ils ne correspondent pas à la même variation absolue.

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L’inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l’accès illimité aux contenus, aux corrections d’exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l’offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L’intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l’Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus