On considère la matrice carrée d'ordre 2 suivante :
M=\begin{pmatrix} 2 & 1 \cr\cr 3 & 0 \end{pmatrix}
Calculer M^2.
Afin de calculer M^2, on effectue le produit matriciel de M par elle-même :
\begin{pmatrix} 2& 1\cr\cr 3& 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2& 1\cr\cr 3& 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+3& 2+0\cr\cr 6+0& 3+0\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^2 =\begin{pmatrix} 7& 2\cr\cr 6& 3\end{pmatrix}
Calculer M^3.
Afin de calculer M^3, on effectue le produit matriciel de M par M^2 :
\begin{pmatrix} 2& 1\cr\cr 3& 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7& 2\cr\cr 6& 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14+6& 4+3\cr\cr 21+0& 6+0\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^3 = \begin{pmatrix} 20& 7\cr\cr 21&6\end{pmatrix}
Calculer M^4.
Afin de calculer M^4, on effectue le produit matriciel de M par M^3 :
\begin{pmatrix} 2& 1\cr\cr 3& 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 20& 7\cr\cr 21&6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40+21& 14+6\cr\cr 60+0& 21+0\end{pmatrix}
On en déduit que :
M^4 = \begin{pmatrix} 61& 20\cr\cr 60& 21\end{pmatrix}