Quelle est l'intersection des deux droites suivantes ?
\left(d\right):\begin{cases} x=1+t \cr \cr y=-2t+3 \cr \cr z=-t+2 \end{cases}, t\in\mathbb{R} et \left(d'\right):\begin{cases} x=-t'+3 \cr \cr y=-t'+2 \cr \cr z=2t'-1 \end{cases}, t'\in\mathbb{R}
On résout le système suivant :
\begin{cases} 1+t=-t'+3 \cr \cr -2t+3=-t'+2 \cr \cr -t+2=2t'-1 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} t+t'=2 \cr \cr -2t+t'=-1 \cr \cr -t-2t'=-3 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On additionne la première et la troisième ligne :
\Leftrightarrow\begin{cases} t+t'=2 \cr \cr -2t+t'=-1 \cr \cr -t'=-1 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} t+t'=2 \cr \cr t=1 \cr \cr t'=1 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On a bien 1+1=2, la première ligne du système est donc vérifiée.
Les deux droites ont donc un point d'intersection noté A pour t=t'=1.
On remplace par exemple dans l'équation de (d), on obtient :
\begin{cases} x=1+1 \cr \cr y=-2\times1+3 \cr \cr z=-1+2 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=2 \cr \cr y=1 \cr \cr z=1 \end{cases}
A\left(2;1;1\right) est le point d'intersection de (d) et (d').
Quelle est l'intersection des deux droites suivantes ?
\left(d\right):\begin{cases} x=1+2t \cr \cr y=3+4t \cr \cr z=5-2t \end{cases}, t\in\mathbb{R} et \left(d'\right):\begin{cases} x=1-t' \cr \cr y=3-2t' \cr \cr z=5+t' \end{cases}, t'\in\mathbb{R}
On résout le système suivant :
\begin{cases} 1+2t=1-t' \cr \cr 3+4t=3-2t' \cr \cr 5-2t = 5+t' \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} 2t+t'=0\cr \cr 4t+2t'=0 \cr \cr-2t-t'=0 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
Les 3 lignes du système sont équivalentes :
\Leftrightarrow 2t+t' = 0,\left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow t'=-2t, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
Pour tout t' = -2t, le système est vérifié.
Les droites (d) et (d') sont confondues.
Quelle est l'intersection des deux droites suivantes ?
\left(d\right):\begin{cases} x=-1+4t\cr \cr y=1-3t\cr \cr z=2-t\end{cases}, t\in\mathbb{R} et \left(d'\right):\begin{cases} x=7-2t' \cr \cr y=-4+t' \cr \cr z=3-t' \end{cases}, t'\in\mathbb{R}
On résout le système suivant :
\begin{cases} -1+4t=7-2t' \cr \cr 1-3t=-4+t' \cr \cr 2-t = 3-t'\end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} 4t+2t'=8 \cr \cr 3t+t' = 5 \cr \cr t -t' = -1 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On additionne la deuxième et la troisième ligne :
\Leftrightarrow\begin{cases} 4t+2t'=8 \cr \cr 4t = 4 \cr \cr t -t' = -1 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} 4t+2t'=8 \cr \cr t = 1 \cr \cr t' = 2 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On a bien 4\times 1 + 2\times 2 = 8, la première ligne du système est donc vérifiée.
Les deux droites ont donc un point d'intersection noté A pour t=1 et t'=2.
On remplace par exemple dans l'équation de (d), on obtient :
\begin{cases} x=-1+4 \cr \cr y=1-3 \cr \cr z=2-1 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=3 \cr \cr y=-2 \cr \cr z=1 \end{cases}
A\left(3;-2;1\right) est le point d'intersection de (d) et (d').
Quelle est l'intersection des deux droites suivantes ?
\left(d\right):\begin{cases} x=-1-t \cr \cr y=2+3t \cr \cr z=3-t \end{cases}, t\in\mathbb{R} et \left(d'\right):\begin{cases} x=3-t' \cr \cr y=2+t' \cr \cr z=4-2t' \end{cases}, t'\in\mathbb{R}
On résout le système suivant :
\begin{cases} -1-t=3-t' \cr \cr 2+3t=2+t' \cr \cr 3-t=4-2t' \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} t'-t=4 \cr \cr 3t-t'=0 \cr \cr 2t'-t=1\end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On additionne la première et la deuxième ligne :
\Leftrightarrow\begin{cases} t'-t=4 \cr \cr 2t=4 \cr \cr 2t'-t=1\end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} t'-t=4 \cr \cr t=2 \cr \cr t' = \dfrac{3}{2} \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On a bien \dfrac{3}{2} - 2 ≠ 4 , la première ligne du système n'est donc pas vérifiée.
Les droites (d) et (d') ne sont pas sécantes.
Quelle est l'intersection des deux droites suivantes ?
\left(d\right):\begin{cases} x=-2t \cr \cr y=1+t \cr \cr z=1-3t \end{cases}, t\in\mathbb{R} et \left(d'\right):\begin{cases} x=4-t' \cr \cr y=-2+t' \cr \cr z=2t' \end{cases}, t'\in\mathbb{R}
On résout le système suivant :
\begin{cases} -2t=4-t' \cr \cr 1+t=-2+t' \cr \cr 1-3t=2t' \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} t'-2t=4 \cr \cr t-t'= -3 \cr \cr 3t+2t'=1 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On additionne la première et la deuxième ligne :
\Leftrightarrow\begin{cases} t'-2t=4 \cr \cr -t=1 \cr \cr 3t+2t'=1 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} t'-2t=4 \cr \cr t=-1 \cr \cr t'=2 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On a bien 2-2\times\left(-1\right)=2+2=4, la première ligne du système est donc vérifiée.
Les deux droites ont donc un point d'intersection noté A pour t=-1 et t'=2.
On remplace par exemple dans l'équation de (d), on obtient :
\begin{cases} x=-2\times\left(-1\right) \cr \cr y=1-1 \cr \cr z=1-3\times\left(-1\right) \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=2 \cr \cr y=0 \cr \cr z=4 \end{cases}
A\left(2;0;4\right) est le point d'intersection de (d) et (d').
Quelle est l'intersection des deux droites suivantes ?
\left(d\right):\begin{cases} x=-3+2t \cr \cr y=-1+t \cr \cr z=2-2t \end{cases}, t\in\mathbb{R} et \left(d'\right):\begin{cases} x=4-t' \cr \cr y=1+2t' \cr \cr z=5-3t' \end{cases}, t'\in\mathbb{R}
On résout le système suivant :
\begin{cases} -3+2t=4-t' \cr \cr -1+t=1+2t' \cr \cr 2-2t=5-3t' \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} 2t+t'=7 \cr \cr t-2t'=2 \cr \cr 2t-3t'=-3 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On soustrait la première ligne à la troisième ligne :
\Leftrightarrow\begin{cases} 2t+t'=7 \cr \cr t-2t'=2 \cr \cr -4t'=-10 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} 2t+t'=7 \cr \cr t=7 \cr \cr t'=\dfrac{5}{2} \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On a 2\times7+\dfrac{5}{2}≠7, la première ligne du système n'est donc pas vérifiée.
Les droites (d) et (d') ne sont pas sécantes.
Quelle est l'intersection des deux droites suivantes ?
\left(d\right):\begin{cases} x=3-6t \cr \cr y=4t \cr \cr z=2-3t \end{cases}, t\in\mathbb{R} et \left(d'\right):\begin{cases} x=-1-t' \cr \cr y=2+t' \cr \cr z=-3+t' \end{cases}, t'\in\mathbb{R}
On résout le système suivant :
\begin{cases} 3-6t=-1-t' \cr \cr 4t=2+t' \cr \cr 2-3t=-3+t' \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} 6t-t'=4 \cr \cr 4t-t'=2 \cr \cr 3t+t'=5 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On additionne la première et la troisième ligne :
\Leftrightarrow\begin{cases} 6t-t'=4 \cr \cr 4t-t'=2 \cr \cr 9t=9 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
\Leftrightarrow\begin{cases} 6t-t'=4 \cr \cr t'=2 \cr \cr t=1 \end{cases}, \left(t,t'\right)\in\mathbb{R}
On a bien 6-2=4, la première ligne du système est donc vérifiée.
Les deux droites ont donc un point d'intersection noté A pour t=1 et t'=2.
On remplace par exemple dans l'équation de (d), on obtient :
\begin{cases} x=3-6 \cr \cr y=4 \cr \cr z=2-3 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x=-3 \cr \cr y=4 \cr \cr z=-1 \end{cases}
A\left(-3;4;-1\right) est le point d'intersection de (d) et (d').