Soient P_{1} et P_{2} deux plans de l'espace définis par les équations cartésiennes suivantes :
P_{1}:-2x+4y+1=0
P_{2}:2x+y-2z=3
Ces deux plans sont-ils perpendiculaires ?
Les plans P_1 et P_2 sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal à P_1 est orthogonal à un vecteur normal à P_2.
D'après les équations respectives des plans P_1 et P_2, on peut déduire que :
- Le vecteur \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} -2 \cr\cr 4 \cr\cr 0 \end{pmatrix} est normal à P_1.
- Le vecteur \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} 2 \cr\cr 1 \cr\cr -2 \end{pmatrix} est normal à P_2.
De plus :
\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}=-2\times2+4\times1-2\times0=0
Deux vecteurs étant orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, on en déduit que les vecteurs \overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} sont orthogonaux.
Comme \overrightarrow{n_1} est un vecteur normal à P_1 et \overrightarrow{n_2} à P_2, on peut conclure :
Les plans P_1 et P_2 sont perpendiculaires.
Soient P_{1} et P_{2} deux plans de l'espace définis par les équations cartésiennes suivantes :
P_{1}:3x-2y+z+3=0
P_{2}:-x+\dfrac{2}{3}y-\dfrac{1}{3}z=1
Ces deux plans sont-ils parallèles ?
Les plans P_1 et P_2 sont parallèles si et seulement si un vecteur normal à P_1 est colinéaire à un vecteur normal à P_2.
D'après les équations respectives des plans P_1 et P_2, on peut déduire que :
- Le vecteur \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} est normal à P_1.
- Le vecteur \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr \dfrac{2}{3} \cr\cr -\dfrac{1}{3} \end{pmatrix} est normal à P_2.
On a donc :
\overrightarrow{n_1}=-3\times\overrightarrow{n_2}
\overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} sont donc colinéaires.
Comme \overrightarrow{n_1} est un vecteur normal à P_1 et \overrightarrow{n_2} à P_2, on peut conclure :
Les plans P_1 et P_2 sont parallèles.
Soient P_{1} et P_{2} deux plans de l'espace définis par les équations cartésiennes suivantes :
P_{1}:x-4y+3z+1=0
P_{2}:-x+2y-\dfrac{1}{3}z=2
Ces deux plans sont-ils parallèles ? Sont-ils perpendiculaires ?
Les plans P_1 et P_2 sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal à P_1 est orthogonal à un vecteur normal à P_2.
Les plans P_1 et P_2 sont parallèles si et seulement si un vecteur normal à P_1 est colinéaire à un vecteur normal à P_2.
D'après les équations respectives des plans P_1 et P_2, on peut déduire que :
- Le vecteur \overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr -4 \cr\cr 3 \end{pmatrix} est normal à P_1.
- Le vecteur \overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} -1 \cr\cr 2 \cr\cr -\dfrac{1}{3} \end{pmatrix} est normal à P_2.
Et on a :
\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}=1\times-1+-4\times2-3\times\dfrac{1}{3}=-10\neq0
\overrightarrow{n_1} et \overrightarrow{n_2} ne sont donc pas orthogonaux.
Comme de plus, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, on peut conclure :
Les plans P_1 et P_2 ne sont ni parallèles ni perpendiculaires.
Soient P un plan dont une équation cartésienne est :
P:3x-y+z-1=0
Et \left(d\right) une droite dont une représentation paramétrique est :
\left(d\right)\begin{cases} x=-6t+1 \cr \cr y=2t-3 \cr \cr z=-2t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Le plan P et la droite \left(d\right) sont-ils orthogonaux ?
Le plan P et la droite \left(d\right) sont orthogonaux si et seulement si un vecteur normal à P et un vecteur directeur de \left(d\right) sont colinéaires.
D'après l'équation cartésienne du plan P et la représentation paramétrique de la droite \left(d\right), on peut déduire que :
- Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} est normal à P.
- Le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -6 \cr\cr 2 \cr\cr -2 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).
De plus :
\overrightarrow{u}=-2\overrightarrow{n}
Donc ces deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{n} sont colinéaires.
Comme \overrightarrow{n} est un vecteur normal à P et \overrightarrow{u} un vecteur directeur de \left(d\right), on peut conclure :
Le plan P et la droite \left(d\right) sont orthogonaux.
Soient P un plan dont une équation cartésienne est :
P:x+y+z-2=0
Et \left(d\right) une droite dont une représentation paramétrique est :
\left(d\right)\begin{cases} x=t+1 \cr \cr y=2t-2 \cr \cr z=-3t+1 \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Le plan P et la droite \left(d\right) sont-ils parallèles ?
Le plan P et la droite \left(d\right) sont parallèles si et seulement si un vecteur normal à P et un vecteur directeur de \left(d\right) sont orthogonaux.
D'après l'équation cartésienne du plan P et la représentation paramétrique de la droite \left(d\right), on peut déduire que :
- Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 1 \cr\cr 1 \end{pmatrix} est normal à P.
- Le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \cr\cr -3 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).
De plus :
\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=1\times1+1\times2-1\times3=0
Donc ces deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{n} sont orthogonaux.
Comme \overrightarrow{n} est un vecteur normal à P et \overrightarrow{u} un vecteur directeur de \left(d\right), on peut conclure :
Le plan P et la droite \left(d\right) sont parallèles.
Soient P un plan dont une équation cartésienne est :
P:7x+4y-3z-3=0
Et \left(d\right) une droite dont une représentation paramétrique est :
\left(d\right)\begin{cases} x=5t+1 \cr \cr y=2t \cr \cr z=t-1 \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Le plan P et la droite \left(d\right) sont-ils parallèles ? Sont-ils orthogonaux ?
Le plan P et la droite \left(d\right) sont orthogonaux si et seulement si un vecteur normal à P et un vecteur directeur de \left(d\right) sont colinéaires.
Le plan P et la droite \left(d\right) sont parallèles si et seulement si un vecteur normal à P et un vecteur directeur de \left(d\right) sont orthogonaux.
D'après l'équation cartésienne du plan P et la représentation paramétrique de la droite \left(d\right), on peut déduire que :
- Le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 7 \cr\cr 4 \cr\cr -3 \end{pmatrix} est normal à P.
- Le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5 \cr\cr 2 \cr\cr 1 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).
De plus :
\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{u}=7\times5+4\times2-3\times1=40\neq0
Donc ces deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{n} ne sont pas orthogonaux.
Comme de plus ces deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{n} ne sont pas colinéaires, on peut conclure :
Le plan P et la droite \left(d\right) ne sont ni parallèles ni orthogonaux.
Soient \left(d\right) et \left(d^{'}\right) deux droites dont des représentations paramétriques respectives sont :
\left(d\right)\begin{cases} x=3t-1 \cr \cr y=t+4 \cr \cr z=-t-1 \end{cases}, t\in\mathbb{R} et \left(d'\right)\begin{cases} x=6t+1 \cr \cr y=2t \cr \cr z=-2t \end{cases}, t\in\mathbb{R}
Les droites \left(d\right) et \left(d^{'}\right) sont-elles parallèles ?
La droite \left(d\right) et la droite \left(d^{'}\right) sont parallèles si et seulement si un vecteur directeur de \left(d\right) et un vecteur directeur de \left(d^{'}\right) sont colinéaires.
D'après les représentations paramétriques des droites \left(d\right) et \left(d^{'}\right), on peut déduire que :
- Le vecteur \overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr 1 \cr\cr -1 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d\right).
- Le vecteur \overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 6 \cr\cr 2 \cr\cr -2 \end{pmatrix} est un vecteur directeur de \left(d^{'}\right).
On a :
\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{u}
Donc ces deux vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont colinéaires.
On peut finalement conclure :
Les droites \left(d\right) et \left(d^{'}\right) sont parallèles.